Spline

 

Spline de Bézier con nós (A,D) e puntos de control (A,B,C,D).

Un spline é unha función polinómica en anacos que interpola unha serie de nodos, de maneira que cada anaco é un polinomio de grao n e en cada nodo os polinomios concorrentes teñen todas as súas derivadas iguais até a orde n-l. Os splines son curvas que orixinalmente foron introducidas para aproximar outras funcións. Os máis habituais son os cúbicos (n=3).

Doutro xeito, é unha curva definida matematicamente por dous ou máis puntos de control. Os puntos de control que se atopan na curva chámanse nós ou nodos. Os puntos restantes definen a tanxente á curva nos seus respectivos nós. Por exemplo, a curva de Bézier definida polos puntos (A, B, C e D) está delimitada polos nós A e D e nestes nós, a curva é tanxente aos vectores AB e DC respectivamente. Variando as posicións dos puntos B e C, a curva só varía a súa pendente, pero continúa pasando polos puntos A e D.

Os splines pódense dividir en dúas categorías:

• Splines de interpolación que pasan por todos os puntos de control
• Splines de aproximación que pasan preto de todos os puntos de control

Splines de aproximación

Normalmente, os splines de aproximación son curvas suaves, xa que as splines de interpolación poden ter "protuberancias" preto dos nós. Na imaxe, a curva que pasa por A, B, C e D é unha spline de interpolación (especificamente, un spline linear), e a curva que pasa por A e D, pero non por B e C, é unha spline de aproximación (especificamente, un spline Bézier ).

Splines no mundo real

A sinxeleza de representación e a facilidade dentro da complexa forma da spline pódense calcular e converter as splines en representacións populares para curvas en informática e enxeñaría informática, predominantemente en gráficos por ordenador, pero tamén para outros tipos de interpolación como o suavizado de son dixital.

O termo spline provén dun dispositivo utilizado polos construtores navais para debuxar formas máis suaves.

Definición formal de splines polinómicas

unha función $S$ chámase spline de grao $k$ se:

1. O dominio de S é un intervalo [ a, b ]
2. Hai nós (t_i,y_i ) tal que a = t₀ < t₁ < ... < t_n = b e tal que S é un polinomio de grao $k$ en cada subintervalo $[t_{i},t_{i+1}]$ .

En xeral, continuidade da función $f$ en $s$ pódese definir pola condición:

$\lim _{x\to s^{+}}f(x)=\lim _{x\to s^{-}}f(x)=f(s)$

Interpolación de splines

A interpolación splines inclúe:

• Spline linear
• Spline cuadrático
• Spline cúbico
  • Spline cúbico natural
  • Spline cúbico apertado
  • Spline cúbico periódico

Véxase tamén

• Algoritmo de Boor, un método eficaz para avaliar unha curva de splines de interpolación.

Ligazóns externas

• https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/livro-sci/i1-interpolacao_cubica_segmentada_-_spline.html mantido polo proxecto REAMAT da Universidade Federal do Rio Grande do Sul