Radical dun ideal

Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o radical dun ideal $I$ dun anel conmutativo é outro ideal definido pola propiedade de que un elemento $x$ está no radical se e só se algúnha potencia de $x$ está en $I$ . Tomar o radical dun ideal chámase radicalización. Un ideal radical (ou ideal semiprimo) é un ideal que é igual ao seu radical. O radical dun ideal primario é un ideal primo.

Este concepto xeneralízase aos aneis non conmutativos no artigo de anel semiprimo.

Definición

O radical dun ideal $I$ nun anel conmutativo $R$ , denotado por $\operatorname {rad} (I)$ ou ${\sqrt {I}}$ , defínese como

{\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},

(nótese que $I\subseteq {\sqrt {I}}$ ). Intuitivamente, ${\sqrt {I}}$ obtense tomando todas as raíces dos elementos de $I$ dentro do anel $R$ . De forma equivalente, ${\sqrt {I}}$ é a preimaxe do ideal dos elementos nilpotentes (o nilradical) do anel cociente $R/I$ (vía o mapa natural $\pi \colon R\to R/I$ ). Isto último demostra que ${\sqrt {I}}$ é un ideal.

Se o radical de $I$ é finitamente xerado, entón algunha potencia de ${\sqrt {I}}$ está contida en $I$ .^[1] En particular, se $I$ e $J$ son ideais dun anel noetheriano, entón $I$ e $J$ teñen o mesmo radical se e só se $I$ contén algunha potencia de $J$ e $J$ contén algunha potencia de $I$ .

Se un ideal $I$ coincide co seu propio radical, daquela $I$ chámase ideal radical ou ideal semiprimo.

Exemplos

Considere o anel $\mathbb {Z}$ de enteiros.
1. O radical do ideal $4\mathbb {Z}$ de múltiplos enteiros de $4$ é $2\mathbb {Z}$ (os pares).
2. O radical de $5\mathbb {Z}$ é $5\mathbb {Z}$ .
3. O radical de $12\mathbb {Z}$ é $6\mathbb {Z}$ .
4. En xeral, o radical de $m\mathbb {Z}$ é $r\mathbb {Z}$ , onde $r$ é o produto de todos os factores primos distintos de $m$ , o maior factor libre de cadrados de $m$ (ver Radical dun número enteiro). De feito, isto xeneraliza a un ideal arbitrario (ver o Propiedades sección).
Considere o ideal $I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]$ . É trivial mostrar ${\sqrt {I}}=(y)$ (usando a propiedade básica ${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ ), mais damos un métodos alternativo: O radical ${\sqrt {I}}$ corresponde ao nilradical ${\sqrt {0}}$ do anel cociente $R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)$ , que é a intersección de todos os ideais primos do anel cociente. Está contido no Radical de Jacobson, que é a intersección de tódolos ideais maximais, que son os kernels de homomorfismos de corpos. Calquera homomorfismo de anel $R\to \mathbb {C}$ debe ter $y$ no kernel para ter un homomorfismo ben definido (se dixéramos, por exemplo, que o kernel debería ser $(x,y-1)$ a composición de $\mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C}$ sería $\left(x,y^{4},y-1\right)$ , que é o mesmo que tentar forzar $1=0$ ). Posto que $\mathbb {C}$ é alxébricamente pechado, cada homomorfismo $R\to \mathbb {F}$ debe ser un factor a través $\mathbb {C}$ , así que só temos que calcular a intersección de $\{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}$ para calcular o radical de $(0).$ Entón atopamos que ${\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.$