Número e

O número e é unha constante matemática que é aproximadamente igual a 2,71828. Este número pode ser caracterizado de diversas formas. É a base dos logaritmos naturais e é o límite de (1 + 1/n)ⁿ cando n se aproxima do infinito, unha expresión que provén do cálculo dos xuros compostos. Tamén pode ser calculado como a suma da serie infinita:

Gráfico da equación y = 1/x. Aquí, e é o único número maior que 1 que fai que a área baixo da curva sexa igual a 1.

$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots$

Ademais, é o único número positivo a tal que o gráfico da función y = a^x ten unha pendente de 1 cando x = 0.

A función exponencial (natural) f(x) = e^x é a única función f que é igual á súa propia derivada e que satisface a ecuación f (0) = 1; por iso, e tamén pode ser definido como f(1). O logaritmo natural, ou logaritmo de base e, é a función inversa da función exponencial natural. O logaritmo natural para un número natural k > 1 pode ser definido directamente como a área baixo a curva y = 1/x entre x = 1 e x = k; neste caso, e é o valor de k para o cal esta área é igual a 1. Há varias outras caracterizacións.

O número e tamén é coñecido como o número de Euler (non confundir coa constante de Euler γ), nomeado en honor ao matemático suízo Leonhard Euler, ou como a constante de Neper, en homenaxe a John Napier. Esta constante foi descuberta polo matemático suízo Jacob Bernoulli mentres estudaba intereses compostos.

O número e ten unha grande importancia na matemática, xunto con 0, 1, π e i. Todos os cinco aparecen nunha formulación da identidade de Euler e^iπ + 1 = 0 e desempeñan papeis importantes e recorrentes na matemática. Semellante á constante π, e é irracional (non pode ser representado como unha razón de dous enteiros) e transcendente (non é unha raíz de ningunha función polinomial con coeficientes racionais). Con 50 cifras decimais, o valor de e é:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Historia

A existencia dun límite de $(1+{\frac {1}{n}})^{n}$ por $n$ enteiro positivo se $n$ → ∞ foi probada por Daniel Bernoulli en 1728 por primeira vez. A notación con $e$, de 1728, é debida a Leonhard Euler, que superou outras propostas.

Propiedades

• O número $e$ é un número real irracional, é dicir, ten infinitos decimais e é aperiódico.
• O logaritmo natural de $e$ é 1.
• A identidade de Euler relaciona ao número $e$ co valor imaxinario, $i$, π, 1 e 0, sendo considerada coma "unha das fórmulas máis bonitas das matemáticas".

$e^{i\pi }+1=0$

• $\rho (cos\theta +isen\theta )=\rho e^{i\theta }$.
• É un número real trascendente, feito demostrado por Charles Hermite en 1874. Non é a raíz da ecuación alxébrica como unha serie infinita: $e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}+...$
• $2\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\leq 4$
• $n!>\left(1+{1 \over n}\right)^{n}$
• É a base dos logaritmos neperianos.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• 10 000 díxitos do número e