Media (estatística)

En matemáticas e estatística unha media é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética.

Construción xeométrica para achar as medias aritmética, xeométrica, harmónica e cuadrática de dous números a e b.
Comparación da media aritmética, a mediana e a moda de dúas distribucións log-normal con diferente asimetría.

Exemplos de mediasEditar

Existen numerosos exemplos de medias  . Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables:


 

Ademais debe cumprirse que:


 

Media aritméticaEditar

A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media".[1]


 

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é  

Media aritmética ponderadaEditar

Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se   é un conxunto de datos ou media muestral e   son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como:


 

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se X é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de X, é dicir, Y = a·X + b (onde a representa a magnitude do cambio de escala e b a do cambio de orixe) tense que:


 

Media xeométricaEditar

A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

 

Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é  

Media harmónicaEditar

A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

 

Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é  

Xeneralizacións da mediaEditar

Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

Media xeneralizadaEditar

As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión:


 

Escollendo un valor apropiado do parámetro m, tense:

  •   - máximo,
  •   - media cuadrática,
  •   - media aritmética,
  •   - media xeométrica,
  •   - media harmónica,
  •   - mínimo.

Media-f xeneralizadaEditar

Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada:


 

onde   é unha función inxectiva e   un intervalo. Escollendo formas particulares para   obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:

  •   - media aritmética,  
  •   - media harmónica,  
  •   - media xeneralizada,  
  •   - media xeométrica,  .

Media dunha funciónEditar

Para unha función continua   sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función   sobre [a,b] como:


 

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

Media estatísticaEditar

A media estatística emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:

Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

Media da mostraEditar

A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media poboacional, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores   de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade F(x, θ) [onde θ é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra n-ésima como:

 

Media da poboaciónEditar

A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

NotasEditar

  1. Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para medio. 12ª acepción

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar