Cálculo multivariábel

cálculo de funcións de varias variábeis independentes

O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.[1]

Campo escalar con dúas variábeis

Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais

editar

Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales

editar

Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa

 

un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector   onde o punto O é a orixe de coordenadas.

  con   e  . Cando   tense un campo escalar. Para   tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.

Límites e continuidade

editar

Sexan   e  . Escríbese:

 ,
ou ben,
  cando  
para expresar o seguinte:
 

onde   é a norma euclidiana de  . Expresándoo en función das compoñentes de  

 

ou, de forma equivalente,

 
Dise que unha función   é continua en  
Teorema:  
a)  
b)  
c)  
(produto escalar de   con  ).
d)  
Teorema: Sexan   e   dúas funcións tales que a función composta   está definida en  , sendo
 
  é continua en   e   é continua en   é continua en  .

Derivadas direccionais

editar

Derivada dun campo escalar respecto dun vector

editar
 

Sexa  . Sexa   un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo   e   un vector arbitrario de  . Defínese a derivada de f en   respecto a   como

 

Derivadas parciais

editar

 

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel,  , tense  . Na práctica, calcularase   derivando respecto a   e supondo   constante.

A diferencial

editar

Definición de campo escalar diferenciábel

editar

Dise que f é diferenciábel en  

 .
  ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.

A anterior ecuación é a fórmula de Taylor de primeira orde para  .

Teorema de unicidade da diferencial

editar

  é diferenciábel en   con diferencial  

a)  
b)  

Regra da cadea

editar

Sexa   un campo escalar e  . Defínese a función composta   como  , entón  

Diferencial dun campo vectorial

editar

Sexa   un campo vectorial. Sexa   e   un vector calquera. Defínese a derivada

 }}

Expresando   en función das súas compoñentes, tense  

Dise que   é diferenciábel  , aplicación linear que verifica:

 .}}
Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para  .

A matriz de   é a súa matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade

editar

Se un campo vectorial   é diferenciábel en   é continuo en  . Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais

editar

Sexa   un campo vectorial definido e diferenciábel en  . A súa diferencial   é

 }}

Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas

editar

  ambas as derivadas parciais existen e son continuas en  .

Aplicacións do cálculo diferencial

editar

Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares

editar
 
Función cun punto de sela

Defínense os seguintes conceptos:

  • Un campo escalar ten un máximo en   existe unha n-bola  
  • Un campo escalar ten un mínimo en   existe unha n-bola  
  • Un campo escalar ten un punto de sela    

Para saber se é un dos casos anteriores:

  1. Obtense  
  2. Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta  .
    1.   é definida positiva   ten un mínimo relativo en  .
    2.   é definida negativa   ten un máximo relativo en  .
    3.   é indefinida   ten un punto de sela en  .

No anterior supúxose que   é continua  

  1. Richard Courant; Fritz John (14 December 1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Ligazóns externas

editar