Abrir o menú principal

En matemáticas, unha derivada parcial dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función f respecto á variable x represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:


Onde é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude é función de diversas variables (,,,), é dicir:


Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

Índice

IntroduciónEditar

Supoñamos que   é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,


 

 
Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar a derivada parcial en (1, 1, 3) que deixa y constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe x.

É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe x, e aquelas que son paralelas ao eixe y.

 
Este é un corte do gráfico á dereita de y = 1.

Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe x, tratamos a variable y como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano y = 1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de ƒ en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:


 

no punto (1, 1, 3),

ou como "a derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) é 3."

ExemplosEditar

 
O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)
  • Considera o volume V dun cono, este depende da altura h do cono e o seu radio r de acordo coa fórmula


 

As derivadas parciais de V respecto a r e h son:


 

  • Outro exemplo, dada a función   tal que:
 

a derivada parcial de   respecto de   é:

 

mentres que con respecto de   é:

 

Definición formalEditar

Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde U é un subconxunto aberto de Rn e f : UR unha función. Definimos derivada parcial de f no punto a = (a1,..., an) ∈ U con respecto á i-ésima variable xi como:


 

Ou visto respecto á derivada direccional:


 

onde   é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ( ).

Se todas as derivadas parciais existen no punto a, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen arredor de a e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda a. Neste caso, f é unha función C1.

NotaciónEditar

Para o seguinte exemplo, f será unha función de x e y.

  • Derivadas parciais de primeira orde:


 

Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:


 

Derivadas cruzadas de segunda orde:


 

TermodinámicaEditar

En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:


 

Que significa que   e entón:


 

Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:


 

Xa que a forma precisa das funcións   e   é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

Derivadas parciais de orde superiorEditar

Á súa vez, a derivada parcial   pode verse como outra función definida en U e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a f unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.


 

En R2, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:


 

Véxase taménEditar