Número oblongo

Un número oblongo é un número que é o produto de dous enteiros consecutivos, é dicir, un número da forma $n(n+1)$ .^[1] O estudo destes números remóntase a Aristóteles . Tamén se lles chama números prónicos, ^[2] porén, o termo "número rectangular" tamén se aplicou aos números compostos.^[3]^[4]

Os primeiros números oblongos son:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272 (secuencia A002378 na OEIS) 306, 342, 342, 42, 60, 42, 42, 42 … .Correspóndense co duplo dos números triangulares.

Como números figurados

Dúas veces un número triangular é un número rectangular ou oblongo.

O

n

-ésimo número oblongo é

n

máis que o

n

- ésimo número cadrado.

Os números oblongos foron estudados como números figurados xunto cos números triangulares e os números cadrados na Metafísica de Aristóteles,^[2] e o seu descubrimento foi atribuído moito antes aos pitagóricos.^[5] Os números oblongos ^[2] son análogos aos números poligonais deste xeito: ^[1]

O $n$ -ésimo número oblongo é a suma dos primeiros $n$ números enteiros pares, e como tal é o duplo do $n$ -ésimo número triangular e $n$ máis que o $n$ ésimo número cadrado, tal e como dá a fórmula alternativa $n 2 + n$ para números oblongos. Polo tanto, o $n$ -ésimo número oblongo e o $n$ -ésimo número cadrado (a suma dos primeiros $n$ números enteiros impares) forman unha razón superparticular :

{\frac {n(n+1)}{n^{2}}}={\frac {n+1}{n}}

Suma de números oblongos

A suma parcial dos primeiros $n$ números oblongos positivos é o duplo do valor do $n$ -ésimo número tetraédrico:

\sum _{k=1}^{n}k(k+1)={\frac {n(n+1)(n+2)}{3}}=2T_{n}

.

A suma dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie telescópica que suma 1: ^[6]

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}\cdots =1

.

A suma parcial dos primeiros $n$ termos desta serie é

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {n}{n+1}}

.

A suma alterna dos recíprocos dos números oblongos positivos (excluíndo 0) é unha serie converxente:

\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i(i+1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{20}}\cdots =\log(4)-1

.

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. Figure 2.15, p. 34. .
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Knorr, Wilbur Richard (1975). The evolution of the Euclidean elements. Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co. Knorr, Wilbur Richard (1975), The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., pp. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300.
↑ Plutarch, De Iside et Osiride, section 42.
↑ Higgins, Peter Michael (2008). Number Story: From Counting to Cryptography. Copernicus Books. .
↑ Ben-Menahem, Ari (2009). Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1. Springer-Verlag. Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1, Springer reference, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310.
↑ Frantz, Marc (2010). The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond. Mathematical Association of America. .

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

[bon-1] 1,0 ^1,1 Conway, J. H.; Guy, R. K. (1996). The Book of Numbers. New York: Copernicus. Figure 2.15, p. 34. .

[knorr-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Knorr, Wilbur Richard (1975). The evolution of the Euclidean elements. Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co. Knorr, Wilbur Richard (1975), The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co., pp. 144–150, ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300.

[3] Plutarch, De Iside et Osiride, section 42.

[4] Higgins, Peter Michael (2008). Number Story: From Counting to Cryptography. Copernicus Books. .

[hist-5] Ben-Menahem, Ari (2009). Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1. Springer-Verlag. Ben-Menahem, Ari (2009), Historical Encyclopedia of Natural and Mathematical Sciences, Volume 1, Springer reference, Springer-Verlag, p. 161, ISBN 9783540688310.

[telescope-6] Frantz, Marc (2010). The Calculus Collection: A Resource for AP and Beyond. Mathematical Association of America. .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]