Inmersión (matemáticas)

En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.^[1] Explicitamente, $f : M \to N$ é unha inmersión se

D_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,

é unha función inxectiva en cada punto $p$ de $M$ (onde $T p X$ denota o espazo tanxente dunha variedade $X$ nun punto $p$ en $X$ ). De forma equivalente, $f$ é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de $M$ : ^[2]

\operatorname {rank} \,D_{p}f=\dim M.

A propia función $f$ non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva $f : M \to N$ que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que $M$ é difeomorfo á súa imaxe en $N$ . Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto $x \in M$ hai unha veciñanza, $U \subseteq M$ , de $x$ tal que $f : U \to N$ é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. ^[3] Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. ^[4]

Se $M$ é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se $M$ non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

Homotopía regular

Unha homotopía regular entre dúas inmersións $f$ e $g$ dunha variedade $M$ cara unha variedade $N$ defínese como unha función diferenciable $H : M \times [0,1] \to N$ tal que para todo $t$ en $[0, 1]$ a función $H t : M \to N$ definida por $H t (x) = H (x, t)$ para todo $x \in M$ é unha inmersión, con $H 0 = f$ , $H 1 = g$ . Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

Clasificación

Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para $2 m < n + 1$ todo mapa $f : M m \to N n$ dunha variedade $m$ -dimensional cara unha variedade $n$ -dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para $2 m < n$ ; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións $f:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade $m$ -dimensional $M m$ en calquera variedade $n$ -dimensional $N n$ .

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

Existencia

A banda de Möbius non inmersiona na codimensión 0 porque o seu fibrado tanxente non é trivial.

A obstrución principal á existencia dunha inmersión $i:M^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ é o fibrado normal estable de $M$ , tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que $\mathbb {R} ^{n}$ é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a $M$ é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre $M$ , $TM$ , que ten dimensión $m$ , e do fibrado normal $ν$ da inmersión $i$ , que ten dimensión $n - m$ , para que exista unha codimensión $k$ inmersión de $M$ , debe haber un fibrado vectorial de dimensión $k$ , $ξ k$ , substituíndo ao feibrado normal $ν$ , tal que $TM\oplus \zeta ^{k}$ é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de $M$ con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

Codimensión 0

As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

Puntos múltiples

Un punto $k$ -tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión $f : M \to N$ é un conxunto non ordenado ${x 1, ..., x k$ } de distintos puntos $x i \in M$ coa mesma imaxe $f (x i) \in N$ . Se $M$ é unha variedade $m$ -dimensional e $N$ é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión $f : M \to N$ en posición xeral o conxunto de puntos das $k$ -tuplas é unha variedade $(n - k (n - m))$ -dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde $k > 1$ ). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

Exemplos e propiedades

O cuadrifolio, a rosa de 4 pétalos.

Unha rosa matemática con $k$ pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto $k$ -tupla; $k$ pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con $k = 2$ , non é unha rosa.
A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas.
Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos).
A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar $f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ está relacionado con $f_{1}=-f_{0}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}$ por unha homotopía regular de inmersións $f_{t}:\mathbb {S} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3}.$
A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera.
A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.

Curvas planas inmersas

Esta curva ten curvatura total 6

π

, e índice de voltas 3, aínda que só ten un índice de curva 2 sobre

p

.

As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2 $π$ . Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

Notas

↑ Esta definición está dada por Bishop & Crittenden 1964, Darling 1994, do Carmo 1994, Frankel 1997, Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, Kobayashi & Nomizu 1963, Kosinski 2007, Szekeres 2004.
↑ Esta definición está dada por Crampin & Pirani 1994, Spivak 1999.
↑ Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Bishop & Goldberg 1968, Lang 1999.
↑ Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Lang 1999.

Véxase tamén

Bibliografía

Adachi, Masahisa (1993). Embeddings and immersions. Traducido por Kiki Hudson. ISBN 978-0-8218-4612-4.
Arnold, V. I.; Varchenko, A. N.; Gusein-Zade, S. M. (1985). Singularities of Differentiable Maps: Volume 1. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
Bishop, Richard Lawrence; Crittenden, Richard J. (1964). Geometry of manifolds. New York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
Bishop, R. L.; Goldberg, S. I. (1968). Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.). The Macmillan Company. ISBN 0-486-64039-6.
Bruce, J. W.; Giblin, P. J. (1984). Curves and Singularities. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42999-4.
Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998a). "Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space". Knot theory (Warsaw, 1995). Banach Center Publ. 42. Polish Acad. Sci., Warsaw. pp. 29–47. MR 1634445. .
Carter, J. Scott; Saito, Masahico (1998). Knotted Surfaces and Their Diagrams. Mathematical Surveys and Monographs 55. p. 258. ISBN 978-0-8218-0593-0.
Carter, Scott; Kamada, Seiichi; Saito, Masahico (2004). Surfaces in 4-space. Encyclopaedia of Mathematical Sciences 142. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-21040-7. MR 2060067. doi:10.1007/978-3-662-10162-9. .
Cohen, Ralph L. (1985). The immersion conjecture for differentiable manifolds. Annals of Mathematics. Second Series 122. pp. 237–328. JSTOR 1971304. MR 808220. doi:10.2307/1971304. .
Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
Darling, Richard William Ramsay (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. Bibcode:1994dfc..book.....D. ISBN 978-0-521-46800-8. .
do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN 978-0-8176-3490-2.
Frankel, Theodore (1997). The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38753-1.
Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-20493-0.
Gromov, M. (1986). Partial differential relations. Springer. ISBN 3-540-12177-3.
Hirsch, Morris W. (1959). Immersions of manifolds. Transactions of the American Mathematical Society 93. pp. 242–276. JSTOR 1993453. MR 0119214. doi:10.2307/1993453. .
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1963). Foundations of Differential Geometry, Volume 1. New York: Wiley-Interscience.
Koschorke, Ulrich (1979). Multiple points of immersions, and the Kahn-Priddy theorem. Mathematische Zeitschrift 169. pp. 223–236. MR 554526. doi:10.1007/BF01214837. .
Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46244-8.
Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
Massey, W. S. (1960). On the Stiefel-Whitney classes of a manifold. American Journal of Mathematics 82. pp. 92–102. JSTOR 2372878. MR 0111053. doi:10.2307/2372878. .
Smale, Stephen (1958). A classification of immersions of the two-sphere. Transactions of the American Mathematical Society 90. pp. 281–290. JSTOR 1993205. MR 0104227. doi:10.2307/1993205. .
Smale, Stephen (1959). The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Annals of Mathematics. Second Series 69. pp. 327–344. JSTOR 1970186. MR 0105117. doi:10.2307/1970186. .
Spivak, Michael (1999) [1970]. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1). Publish or Perish. ISBN 0-914098-70-5.
Spring, David (2005). The golden age of immersion theory in topology: 1959–1973: A mathematical survey from a historical perspective. Bulletin of the American Mathematical Society. New Series 42. pp. 163–180. MR 2133309. doi:10.1090/S0273-0979-05-01048-7. .
Szekeres, Peter (2004). A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82960-1.
Wall, C. T. C. (1999). Surgery on compact manifolds (PDF). Mathematical Surveys and Monographs 69 (Second ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0942-3. MR 1687388. doi:10.1090/surv/069. .

Outros artigos

Mergullo (matemáticas).

Ligazóns externas

Immersion no Manifold Atlas
Immersion of a manifold na Encyclopedia of Mathematics

[1] Esta definición está dada por Bishop & Crittenden 1964, Darling 1994, do Carmo 1994, Frankel 1997, Gallot, Hulin & Lafontaine 2004, Kobayashi & Nomizu 1963, Kosinski 2007, Szekeres 2004.

[2] Esta definición está dada por Crampin & Pirani 1994, Spivak 1999.

[3] Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por Bishop & Goldberg 1968, Lang 1999.

[4] Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por Lang 1999.

[1]

[2]

[3]

[4]