Botella de Klein

En topoloxía, unha garrafa de Klein ou tamén botella de Klein^{[Cómpre referencia]} é unha superficie non orientable aberta cuxa característica de Euler é igual a 0; non ten interior nin exterior. Outros obxectos non orientables relacionados son a banda de Möbius e o plano proxectivo real. Mentres que unha banda de Möbius é unha superficie con bordo, unha botella de Klein non ten bordo. Tampouco o ten unha esfera, aínda que esta si é orientable.

Unha representación bidimensional da botella de Klein mergullada no espazo tridimensional.

A botella de Klein foi descrita por primeira vez en 1882 polo matemático alemán Felix Klein. O nome orixinal do obxecto non foi o de botella de Klein (en alemán Kleinsche Flasche), senón o de superficie de Klein (en alemán Kleinsche Fläche). O tradutor da primeira referencia ao obxecto do alemán ao inglés confundiu as palabras e como a aparencia da representación tridimensional recorda a unha botella o erro pasou case desapercibido.

Construción

Comezamos cun cadrado, e pegamos os bordos coloreados no diagrama seguinte, de modo que as frechas coincidan. Máis formalmente, a botella de Klein é o cociente do cadrado [0,1] × [0,1] cos seus bordos identificados pola relación (0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1, e (x, 0) ~ (1 − x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1:

Este cadrado é o polígono fundamental da botella de Klein.

Nótese que este é un pegado "abstracto" no sentido de que, ao tratar de facelo en tres dimensións, resulta unha botella de Klein que se autointerseca. A botella de Klein, propiamente dita, non ten autointerseccións. Non obstante, hai un modo de visualizar a botella de Klein como figura en catro dimensións.

Para iso, pegamos as frechas vermellas do cadrado, (lados dereito e esquerdo) resultando un cilindro. Para pegar os extremos de maneira que as frechas dos círculos coincidan, pasamos un extremo polo lado do cilindro. Nótese que isto crea unha autointersección circular. Esta é un mergullo da botella de Klein en tres dimensións.

• 
• 
• 
• 
• 
• 

Engadindo unha cuarta dimensión ao espazo tridimensional, conseguimos que a botella pase a través de si mesma sen necesidade dun burato. Para iso empuxamos suavemente un anaco de tubo que conteña a intersección fóra do espazo tridimensional orixinal. Unha analoxía útil é considerar unha curva que se autointerseca no plano; as interseccións pódense eliminar levantando unha liña fóra do mesmo.

Este mergullo é útil para visualizar moitas propiedades da botella de Klein. Por exemplo, non ten bordo (onde a superficie se deteña abruptamente), e non é orientable, ao ter o seu mergullo unha soa cara.

Unha botella de Klein soprada a man

Como fibrado

Esta superficie (simbolizada por $K$) pode considerarse como o espazo total dun fibrado (non trivial) sobre o círculo onde a fibra é tamén un círculo, i.e. $S^{1}\subset K\to S^{1}$. En contraste, o toro tamén é un fibrado, pero é trivial, isto é $T=S^{1}\times S^{1}$.

Sección

A sección dunha botella de Klein en bandas de Möbius.

Seccionando unha botella de Klein en dúas metades ao longo do seu plano de simetría resultan dúas bandas de Möbius, cada unha imaxe especular da outra. Unha delas é a imaxe da dereita. Recórdese que a intersección da imaxe non está realmente alí. De feito, tamén é posible cortar a botella de Klein nunha única banda de Möbius.

Outro concepto co mesmo nome

Na xeometría alxébrica, unha superficie de Klein, que se diferencia da botella de Klein, é similar dunha superficie de Riemann no sentido de que unha superficie de Klein admite unha estrutura di-analítica, é dicir, unha estrutura analítica que adiciona unha posible función de transición a unha estrutura analítica -consistente na conxugación complexa- determina unha que é anti-analítica.

Véxase tamén

Outros artigos

• Toro (xeometría e topoloxía)

Ligazóns externas

• Exemplos de Botellas de Klein construídas en vidroArquivado 05 de setembro de 2008 en Wayback Machine.
• Vídeo da Botella de Klein
• Torus Games. Xogos sobre as topoloxías do toro e da botella de Klein (en español)