Homotopía

En topoloxía, e máis precisamente en topoloxía alxébrica, dúas aplicacións continuas dun espazo topolóxico noutro chámanse homotópicas (do grego homos = mesmo e topos = lugar) se unha delas pode "deformarse continuamente" na outra.

Os dous camiños con liñas de puntos que se mostran arriba son homotópicos en relación aos seus extremos. A animación representa unha posible homotopía.

Definición formal

Dúas aplicacións continuas $f,g:X\to Y$ dinse homotópicas se existe outra aplicación (continua tamén) $H:X\times [0,1]\to Y$ tal que:

$H(x,0)=f(x)\,$

$H(x,1)=g(x)\,$

Un exemplo importante son as diferentes clases (homotópicas) de aplicacións do círculo nun espazo $X$

$S^{1}\to X\,$

a estrutura resultante é o grupo fundamental.

Se dúas aplicacións $f$ e $g$ son homotópicas, escríbese $f\simeq g$; o que significa que esta relación é efectivamente unha relación de equivalencia sobre o conxunto de aplicacións continuas de $X$ en $Y$. As clases de equivalencia denomínanse clases de homotopía das aplicacións.

Tipo homotópico

Dise que dous espazos $X$, $Y$ teñen o mesmo tipo homotópico se existe un par de aplicacións $X{\stackrel {f}{\to }}Y$ e $Y{\stackrel {g}{\to }}X$ tales que $g\circ f$ e $f\circ g$ son homotópicos a $Id_{X}$ e $Id_{Y}$ respectivamente. Adoita empregarse o símbolo $f\simeq g$, para indicar que os obxectos $f$ e $g$ son homotópicos.

Como exemplos, unha 1-esfera e un toro sólido teñen o mesmo tipo homotópico. Un espazo topolóxico que ten o mesmo tipo homotópico que un conxunto unitario dise contráctil.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Homotopy". MathWorld (en inglés). 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001). "Homotopy" (en inglés).