Grupo fundamental

En topoloxía, pódese asociar a cada punto p dun espazo topolóxico X un grupo que informa sobre a estrutura 1-dimensional da porción do espazo que rodea este punto. Os elementos deste grupo, chamado grupo fundamental de X relativo ao punto base p, son clases de equivalencia de lazos (curvas pechadas) con orixe no punto p.

Mediante lazos con base nun punto fixo pódese explorar o espazo topolóxico ao que pertence. As clases de equivalencia destes lazos formarán o grupo fundamental.

Existen xeneralizacións a dimensións superiores deste grupo, que reciben o nome de grupos de homotopía. O grupo fundamental recibe tamén o nome de primeiro grupo de homotopía. De aí a forma común de notalo sexa $\pi _{1}(X,p)\,$.

Definicións

Lazo

Sexa $X$ un espazo topolóxico, e $p$ un punto fixo de $X$. Un lazo con base en $p$ é unha aplicación continua $\gamma :[0,1]\to X$ que verifica $\gamma (0)=\gamma (1)=p$.

O produto $\alpha *\beta$ de dous lazos $\alpha$ e $\beta$ defínese como $(\alpha *\beta )(t)={\begin{cases}\alpha (2t)&0\leq t\leq {\frac {1}{2}}\\\beta (2t-1)&{\frac {1}{2}}\leq t\leq 1\end{cases}}$

Isto é, o lazo $\alpha *\beta$ primeiro percorre o camiño de $\alpha$, pero a "dobre velocidade" e despois o de $\beta$, tamén a dobre velocidade.

Clases de homotopía

As clases de homotopía son as clases de equivalencia debidas á relación de ser homotópico. Dous lazos $\alpha ,\beta :[0,1]\to X\,$ con base nun punto común p son homotópicos se existe unha aplicación continua $H:[0,1]\times [0,1]\to X\,$ tal que

$H(s,0)=\alpha (s)\,$

$H(s,1)=\beta (s)\,$

$H(0,t)=p\,$

$H(1,t)=p\,$.

Intuitivamente unha clase de homotopía representa un conxunto de curvas que son deformables entre si.

Grupo fundamental

O produto de dúas clases de homotopía de lazos [f] e [g] defínese como [f∗g]. Pode demostrarse que este produto está ben definido ao ser independente da elección de representantes. Este produto permite obter unha estrutura de grupo: o elemento neutro será a clase [γ] do lazo trivial definido como γ(t) = p para todo t; o inverso da clase dun lazo [f] será a clase do mesmo lazo percorrido en sentido contrario (é dicir, f⁻¹(t)=f(1-t))

O grupo fundamental dun espazo topolóxico $X$, baseado nun punto $p\in X$, notado como $\pi _{1}(X,p)$, é o conxunto de clases de homotopía de curvas pechadas coa operación xustapor clases.

Propiedades

• Se o espazo é arcoconexo, os diferentes grupos $\pi _{1}(X,p)\,$ e $\pi _{1}(X,q)\,$ para dous puntos $p,q\in X$ son isomorfos. Sendo posible falar do grupo fundamental do espazo: $\pi _{1}(X)\,$. Este isomorfismo non é natural en xeral.
• Unha aplicación continua $f:X\to Y$ entre dous espazos topolóxicos induce unha aplicación do conxunto de lazos de X sobre o de lazos de Y. Esta aplicación indúcese tamén sobre as clases respectivas e convértese nun homomorfismo $f_{*}$ entre os grupos fundamentais definido deste xeito: $f_{*}[\alpha ]=[f\circ \alpha ]$.
• A asignación dada por $X\to \pi _{1}(X)\,$ que vai da categoría de espazos topolóxicos á categoría de grupos é un funtor. Este invariante pode ser calculado mediante a técnica de grafo de grupos coñecida como o teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descompor o espazo en 2 espazos máis simples onde o grupo fundamental sexa coñecido.

Exemplos

• En moitos espazos só existe unha clase de homotopía de lazos, e en consecuencia o grupo fundamental é trivial. Un espazo topolóxico con grupo fundamental trivial chámase simplemente conexo. ℝⁿ, ou calquera subconxunto convexo de ℝⁿ sono. A esfera de dimensión n con n maior ou igual que 2 tamén o é.
• O espazo topolóxico máis simple non simplemente conexo é a circunferencia: o seu grupo fundamental é isomorfo ao grupo aditivo dos números enteiros ℤ. O número enteiro asociado a cada lazo de $S^{1}$ é o número de voltas que ese lazo dá ao redor dela.
• Se X e Y son dous espazos topolóxicos arcoconexos, o grupo fundamental do produto X×Y é isomorfo ao produto dos grupos de ambos os espazos. Por exemplo, se para a circunferencia, $\pi _{1}(S^{1})=\mathbb {Z}$. Para o toro, homeomorfo a un produto de circunferencias, $\pi _{1}(T^{2})=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.
• O grupo fundamental non ten por que ser conmutativo. Por exemplo, o grupo fundamental do plano privado de dous puntos $\mathbb {R} ^{2}-\{a;b\}$ é isomorfo ao grupo libre con dous xeradores $F_{2}$. Estes dous xeradores son as clases dos lazos que pasando por un punto p rodean cada un dos puntos eliminados. Nalgunhas clases particulares de espazos topolóxicos, por exemplo na dos grupos topolóxicos, o grupo fundamental si resulta ser sempre abeliano.

Véxase tamén

Bibliografía

• Munkres, James R. (2000). Topology (en inglés). Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299. .
• Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology (en inglés). Mir. p. 454. ISBN 5855012034. 
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 0521795400. 
• Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology (en inglés). Springer. ISBN 0387966781. 

Ligazóns externas

• Delanoue, Nicolas. "Animations to introduce to the fundamental group". Arquivado dende o orixinal o 02 de outubro de 2011. Consultado o 2019-03-04. 
• Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
• Groupoids in Mathematics
• Fundamental group in Conservapedia