Grupo fundamental

En topoloxía, pódese asociar a cada punto p dun espazo topolóxico X un grupo que informa sobre a estrutura 1-dimensional da porción do espazo que rodea este punto. Os elementos deste grupo, chamado grupo fundamental de X relativo ao punto base p, son clases de equivalencia de lazos (curvas pechadas) con orixe no punto p.[1]

Mediante lazos con base nun punto fixo pódese explorar o espazo topolóxico ao que pertence. As clases de equivalencia destes lazos formarán o grupo fundamental.

Existen xeneralizacións a dimensións superiores deste grupo, que reciben o nome de grupos de homotopía. O grupo fundamental recibe tamén o nome de primeiro grupo de homotopía. De aí a forma común de notalo sexa .

DefiniciónsEditar

LazoEditar

Sexa   un espazo topolóxico, e   un punto fixo de  . Un lazo con base en   é unha aplicación continua   que verifica  .

O produto   de dous lazos   e   defínese como  

Isto é, o lazo   primeiro percorre o camiño de  , pero a "dobre velocidade" e despois o de  , tamén a dobre velocidade.

Clases de homotopíaEditar

As clases de homotopía son as clases de equivalencia debidas á relación de ser homotópico. Dous lazos   con base nun punto común p son homotópicos se existe unha aplicación continua   tal que

 
 
 
 .

Intuitivamente unha clase de homotopía representa un conxunto de curvas que son deformables entre si.

Grupo fundamentalEditar

O produto de dúas clases de homotopía de lazos [f] e [g] defínese como [fg]. Pode demostrarse que este produto está ben definido ao ser independente da elección de representantes. Este produto permite obter unha estrutura de grupo: o elemento neutro será a clase [γ] do lazo trivial definido como γ(t) = p para todo t; o inverso da clase dun lazo [f] será a clase do mesmo lazo percorrido en sentido contrario (é dicir, f−1(t)=f(1-t))

O grupo fundamental dun espazo topolóxico  , baseado nun punto  , notado como  , é o conxunto de clases de homotopía de curvas pechadas coa operación xustapor clases.

PropiedadesEditar

  • Se o espazo é arcoconexo, os diferentes grupos   e   para dous puntos   son isomorfos. Sendo posible falar do grupo fundamental do espazo:  . Este isomorfismo non é natural en xeral.
  • Unha aplicación continua   entre dous espazos topolóxicos induce unha aplicación do conxunto de lazos de X sobre o de lazos de Y. Esta aplicación indúcese tamén sobre as clases respectivas e convértese nun homomorfismo   entre os grupos fundamentais definido deste xeito:  .
  • A asignación dada por   que vai da categoría de espazos topolóxicos á categoría de grupos é un funtor. Este invariante pode ser calculado mediante a técnica de grafo de grupos coñecida como o teorema de Seifert-van Kampen. Con este resultado basta descompor o espazo en 2 espazos máis simples onde o grupo fundamental sexa coñecido.

ExemplosEditar

  • En moitos espazos só existe unha clase de homotopía de lazos, e en consecuencia o grupo fundamental é trivial. Un espazo topolóxico con grupo fundamental trivial chámase simplemente conexo. ℝn, ou calquera subconxunto convexo de ℝn sono. A esfera de dimensión n con n maior ou igual que 2 tamén o é.
  • O espazo topolóxico máis simple non simplemente conexo é a circunferencia: o seu grupo fundamental é isomorfo ao grupo aditivo dos números enteiros ℤ. O número enteiro asociado a cada lazo de   é o número de voltas que ese lazo dá ao redor dela.
  • Se X e Y son dous espazos topolóxicos arcoconexos, o grupo fundamental do produto X×Y é isomorfo ao produto dos grupos de ambos os espazos. Por exemplo, se para a circunferencia,  . Para o toro, homeomorfo a un produto de circunferencias,  .
  • O grupo fundamental non ten por que ser conmutativo. Por exemplo, o grupo fundamental do plano privado de dous puntos   é isomorfo ao grupo libre con dous xeradores  . Estes dous xeradores son as clases dos lazos que pasando por un punto p rodean cada un dos puntos eliminados. Nalgunhas clases particulares de espazos topolóxicos, por exemplo na dos grupos topolóxicos, o grupo fundamental si resulta ser sempre abeliano.

NotasEditar

  1. Munkres: "Topología"

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Ligazóns externasEditar