Función exponencial

A función exponencial é unha función matemática denotada por $f(x)=\exp(x)$ ou $e^{x}$ (onde o argumento x escríbese coma un expoñente). A menos que se especifique o contrario, o termo refírese xeralmente á función con valores positivos dunha variábel real, aínda que se pode estender aos números complexos ou xeneralizarse a outros obxectos matemáticos como matrices ou álxebras de Lie. A función exponencial orixinouse da operación de tomar potencias dun número (multiplicación repetida), mais varias definicións modernas permiten estendela rigorosamente a todos os argumentos reais. $x$, incluíndo números irracionais.

Curva da función exponencial $e^{x}$

Funcións exponenciais con bases 2 e 1/2

As funcións $f(x)=b^{x}$ para números reais positivos $b$ tamén se coñecen como funcións exponenciais e satisfán a identidade de exponenciación:

$b^{x+y}=b^{x}b^{y}$ para tódolos $x,y\in \mathbb {R} .$

Isto implica $b^{n}=b\times \cdots \times b$ (con $n$ factores) para números enteiros positivos $n$, onde $b=b^{1}$, relacionando as funcións exponenciais coa noción elemental de exponenciación. A base natural $e=\exp(1)=2.71828\ldots$ é unha constante matemática ubicua chamada número de Euler. Para distinguilo, $\exp(x)=e^{x}$ chámase función exponencial ou función exponencial natural: é a única función con valor real dunha variábel real cuxa derivada é ela mesma e cuxo valor en 0 é 1:

$\exp '(x)=\exp(x)$ para todos os $x\in \mathbb {R}$, e $\exp(0)=1.$

A relación $b^{x}=e^{x\ln b}$ para $b>0$ e reais ou complexas $x$ permite expresar funcións exponenciais xerais en termos da exponencial natural.

De xeito máis xeral, calquera función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definida por

$f(x)=ce^{ax}=cb^{kx},{\text{ con }}k=a/\ln b,\ a\neq 0,\ b,c>0$

tamén se coñece como función exponencial, xa que resolve o problema do valor inicial $f'=af,\ f(0)=c$, é dicir, a súa taxa de cambio en cada punto é proporcional ao valor da función nese punto. Este comportamento modela diversos fenómenos nas ciencias biolóxicas, físicas e sociais, por exemplo, o crecemento sen restricións dunha poboación que se reproduce por si mesmo, a desintegración dun elemento radioactivo, o interese composto que se acumula nun fondo financeiro ou a lei de Moore.

A función exponencial tamén se pode definir como unha serie de potencias, que se aplica facilmente a números reais, números complexos e mesmo matrices. A función exponencial complexa $\exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ toma todos os valores complexos agás 0 e está estreitamente relacionado coas funcións trigonométricas complexas pola fórmula de Euler:

$e^{x+iy}=e^{x}\cos(y)\,+\,i\,e^{x}\sin(y).$

A función exponencial dos números reais é unha biyección de $\mathbb {R}$ no intervalo $(0,\infty )$. A súa función inversa é o logaritmo natural, denotado $\ln$, $\log$ ou $\log _{e}$.

Gráfica

A gráfica de $y=e^{x}$ ten pendente ascendente e aumenta máis rápido a medida que x aumenta. A gráfica atópase sempre por riba do eixo x, mais atópase arbitrariamente preto del para un x negativo grande; así, o eixo x é unha asíntota horizontal. A ecuación ${\tfrac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$ significa que a pendente da tanxente á gráfica en cada punto é igual á súa coordenada y nese punto.

Definición formal

A función exponencial (en azul) e a suma dos primeiros n + 1 termos da súa serie de potencias (en vermello)

A función exponencial $\exp$ pode caracterizarse de diversas formas equivalentes. Normalmente defínese pola seguinte serie de potencias:

$\exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

Dado que o raio de converxencia desta serie de potencias é infinito, esta definición é aplicábel a todos os números complexos; ver plano complexo.

Resolvendo a ecuación diferencial ordinaria $y'(x)=y(x)$ coa condición inicial $y'(0)=1$ usando o método de Euler dá outra caracterización común, a fórmula do límite do produto: $$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$$

Pódese demostrar que toda solución continua e distinta de cero da ecuación funcional $f(x+y)=f(x)f(y)$ para $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ é unha función exponencial no sentido máis xeral, $f(x)=\exp(kx)$ con $k\in \mathbb {C} .$

Derivadas e ecuacións diferenciais

A derivada da función exponencial é igual ao valor da función. Desde calquera punto P da curva (azul), trázase unha recta tanxente (vermello) e unha vertical (verde) de altura h, formando un triángulo rectángulo con base b no eixo x. Dado que a pendente da recta tanxente vermella (a derivada) en P é igual á relación entre a altura do triángulo e a base do triángulo, e a derivada é igual ao valor da función, h debe ser igual á relación de h con b. Polo tanto, a base b debe ser sempre 1.

A importancia da función exponencial en matemáticas e ciencias deriva principalmente da súa propiedade como función única que é igual á súa derivada e é igual a 1 cando x = 0 . É dicir, $${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\quad e^{0}=1.$$

As funcións da forma ce^x para a constante c son as únicas funcións que son iguais á súa derivada (polo teorema de Picard–Lindelöf).

Tamén, para calquera función diferenciábel f, atopamos, pola regra da cadea: $${\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.$$

Fraccións continuas para e^x

Unha fracción continua para e^x pódese obter mediante unha identidade de Euler: $$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$$

A seguinte fracción continua xeneralizada para e^z converxe máis rapidamente: $$e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}$$

Plano complexo

A función exponencial e^z representada no plano complexo de -2-2i a 2+2i

Como no caso real, a función exponencial pódese definir no plano complexo de varios xeitos equivalentes.

A definición máis común da función exponencial complexa é paralela á definición da serie de potencias para argumentos reais, onde a variábel real é substituída por outra complexa: $$\exp z:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}$$

O mesmo pasa coa definición baseada no límite: $$\exp z:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}$$

Para a definición en serie de potencias, a multiplicación por termos de dúas copias desta serie de potencias no sentido de Cauchy, permitida polo teorema de Mertens, mostra que a propiedade multiplicativa definitoria das funcións exponenciais segue a ser válida para todos os argumentos complexos: $$\exp(w+z)=\exp w\exp z{\text{ para todos os }}w,z\in \mathbb {C}$$

A definición da función exponencial complexa leva á súa vez ás definicións adecuadas que estenden as funcións trigonométricas a argumentos complexos.

En particular, cando z = it ( t real), a definición da serie produce a expansión $$\exp(it)=\left(1-{\frac {t^{2}}{2!}}+{\frac {t^{4}}{4!}}-{\frac {t^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(t-{\frac {t^{3}}{3!}}+{\frac {t^{5}}{5!}}-{\frac {t^{7}}{7!}}+\cdots \right).$$

Nesta expansión, a reordenación dos termos en partes reais e imaxinarias está xustificada pola converxencia absoluta da serie. As partes real e imaxinaria da expresión anterior corresponden de feito ás expansións en serie de cos t e sin t, respectivamente.

Esta correspondencia proporciona un motivo para definir o coseno e o seno para todos os argumentos complexos en termos de $\exp(\pm iz)$ e a serie de potencias equivalentes: $${\begin{aligned}&\cos z:={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}},\\[5pt]{\text{ e }}\quad &\sin z:={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}$$

para todo ${\textstyle z\in \mathbb {C} .}$

Estas definicións para as funcións exponenciais e trigonométricas conducen trivialmente á fórmula de Euler: $$\exp(iz)=\cos z+i\sin z{\text{ for all }}z\in \mathbb {C} .$$

A función exponencial complexa é periódica con período 2πi e $\exp(z+2\pi ik)=\exp z$ cúmprese para todo $z\in \mathbb {C} ,k\in \mathbb {Z}$ .

Cando o seu dominio se estende desde a recta real ata o plano complexo, a función exponencial conserva as seguintes propiedades: $${\begin{aligned}&e^{z+w}=e^{z}e^{w},\\[5pt]&e^{0}=1,\\[5pt]&e^{z}\neq 0,\\[5pt]&{\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},\\[5pt]&\left(e^{z}\right)^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} ,\end{aligned}}$$

para todos os ${\textstyle w,z\in \mathbb {C} .}$

A extensión do logaritmo natural a argumentos complexos obtemos o logaritmo complexo log z, que é unha función multivaluada.

• Gráficos 3D da parte real, parte imaxinaria e módulo da función exponencial
• 
  z = Re(e^{x + iy})
• 
  z = Im(e^{x + iy})
• 
  z = |e^{x + iy}|

Cálculo de a^b onde tanto a como b son complexos

Artigo principal: Potenciación.

A exponenciación complexa a^b pódese definir convertendo a en coordenadas polares e utilizando a identidade (e^{ln a})b
= a^b</br> (e^{ln a})b
= a^b : $$a^{b}=\left(re^{\theta i}\right)^{b}=\left(e^{(\ln r)+\theta i}\right)^{b}=e^{\left((\ln r)+\theta i\right)b}$$

Cando b non é un número enteiro, esta función ten varios valores, porque θ non é único.

Álxebras de Lie

Dado un grupo de Lie G e a súa álxebra de Lie asociada ${\mathfrak {g}}$, o mapa exponencial é un mapa ${\mathfrak {g}}$ ↦ G que satisfai propiedades similares. De feito, dado que R é a álxebra de Lie do grupo de Lie de todos os números reais positivos baixo multiplicación, a función exponencial ordinaria para argumentos reais é un caso especial da álxebra de Lie. Do mesmo xeito, dado que o grupo de Lie GL(n,R) das matrices invertíbeis n × n ten como álxebra de Lie M(n,R), o espazo de todas as matrices n × n, a función exponencial para matrices cadradas é un caso especial do Mapa exponencial da álxebra de Lie.

A identidade $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ pode fallar para os elementos da álxebra de Lie x e y que non conmuten; a fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff proporciona os termos de corrección necesarios.

Transcendencia

A función e^z non está no anel das funcións racionais $\mathbb {C} (z)$: non é o cociente de dous polinomios con coeficientes complexos.

Se a₁, ..., a_n son números complexos distintos, entón e^a₁z, ..., e^a_nz son linearmente independentes sobre $\mathbb {C} (z)$, e polo tanto e^z é transcendental en $\mathbb {C} (z)$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Lista de funcións matemáticas.

Ligazóns externas

• "Exponential function". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].