Comparación de topoloxías

En topoloxía, o conxunto de todas as posíbeis topoloxías dun conxunto dado forma un conxunto parcialmente ordenado. Esta relación de orde pódese usar para a comparación das topoloxías.

Definición

Unha topoloxía nun conxunto pódese definir como a colección de subconxuntos que se consideran "abertos". (Unha definición alternativa é a de colección de subconxuntos que se consideran "pechados". Estas dúas formas de definir a topoloxía son esencialmente equivalentes porque o complemento dun conxunto aberto é pechado e viceversa. A continuación, non importa a definición que se use).

O lector debería pensar nunha topoloxía como a familia de conxuntos abertos dun espazo topolóxico, xa que ese é o significado estándar da palabra "topoloxía".

Sexan τ₁ e τ₂ dúas topoloxías nun conxunto X tal que τ₁ está contida en τ₂:

$\tau _{1}\subseteq \tau _{2}$.

É dicir, todo elemento de τ₁ é tamén un elemento de τ₂. Entón dise que a topoloxía τ₁ é unha topoloxía máis grosa (máis débil ou menor) que τ₂, e que τ₂ é unha topoloxía máis fina (máis forte ou maior) que τ₁.

Se a maiores

$\tau _{1}\neq \tau _{2}$

dicimos que τ₁ é estritamente máis grosa que τ₂ e τ₂ é estritamente máis fina que τ₁.

A relación binaria ⊆ define unha relación de ordenación parcial no conxunto de todas as posíbeis topoloxías en X.

Exemplos

• A topoloxía máis fina en X é a topoloxía discreta; esta topoloxía fai que todos os subconxuntos sexan abertos. A topoloxía máis grosa en X é a topoloxía trivial; esta topoloxía só admite o conxunto baleiro e todo o espazo como conxuntos abertos.

• Nos espazos de funcións e espazos de medidas hai moitas veces unha serie de posíbeis topoloxías. Vexa as topoloxías do conxunto de operadores nun espazo de Hilbert para ver algunhas relacións intricadas.

• Todas as posíbeis topoloxías polares nun par dual son máis finas que a topoloxía débil e máis grosas que a topoloxía forte.

• O espazo vectorial complexo Cⁿ pode estar equipado coa súa topoloxía usual (euclidiana) ou coa súa topoloxía de Zariski. Nesta última, un subconxunto V de Cⁿ está pechado se e só se consta de todas as solucións dalgún sistema de ecuacións polinómicas. Dado que calquera tal V tamén é un conxunto pechado no sentido ordinario, mais non viceversa, a topoloxía de Zariski é estritamente máis débil que a ordinaria.

• A topología máis fina sobre un conxunto dado é a topoloxía discreta e a topoloxía máis grosa é a trivial.
• Sobre os reais, a topoloxía usual é máis débil que a topoloxía de Sorgenfrey.
• Sobre $\mathbb {R} ^{n}$, as topoloxías inducidas pola distancia euclidiana, distancia do máximo e distancia de Manhattan son ​​equivalentes.
• Sobre $\mathbb {R}$, a topoloxía cofinita é máis débil que a usual.

Propiedades

Sexan τ₁ e τ₂ dúas topoloxías nun conxunto X. Entón as seguintes afirmacións son equivalentes:

• τ₁ ⊆ τ₂
• o mapa de identidade id_X : (X, τ₂) → (X, τ₁) é un mapa continuo.
• o mapa de identidade id_X : (X, τ₁) → (X, τ₂) é un mapa fortemente/relativamente aberto .

(O mapa de identidade id_X é sobrexectivo e, polo tanto, está fortemente aberto se e só se é relativamente aberto.)

Dous corolarios inmediatos das afirmacións equivalentes anteriores son

• Un mapa continuo f : X → Y permanece continuo se a topoloxía en Y se fai máis grosa ou a topoloxía en X máis fina.
• Un mapa aberto (resp. pechado) f : X → Y permanece aberto (resp. pechado) se a topoloxía en Y se fai máis fina ou a topoloxía en X máis grosa.

Tamén se poden comparar topoloxías usando bases de veciñanzas. Sexan τ₁ e τ₂ dúas topoloxías nun conxunto X e sexa B_i (x) unha base local para a topoloxía τ_i en x ∈ X para i = 1,2. Entón τ₁ ⊆ τ₂ se e só se para todo x ∈ X, cada conxunto aberto U ₁ en B ₁ (x) contén algún conxunto aberto U₂ en B₂ (x ). Intuitivamente, isto ten sentido: unha topoloxía máis fina debería ter veciñanzas máis pequenas.

Reticulas de topoloxías

O conxunto de todas as topoloxías dun conxunto X xunto coa relación de ordenación parcial ⊆ forma unha retícula completa que tamén está pechada baixo interseccións arbitrarias. É dicir, calquera colección de topoloxías en X ten un meet (ou infimum) e un join (ou supremum). O meet dunha colección de topoloxías é a intersección desas topoloxías. Porén, a unión non é xeralmente a unión desas topoloxías (a unión de dúas topoloxías non ten por que ser unha topoloxía) senón a topoloxía xerada pola unión.

Toda retícula completa é tamén unha rede limitada, é dicir, ten un elemento maior e menor. No caso das topoloxías, o elemento máis grande é a topoloxía discreta e o menor é a topoloxía trivial .

A retícula de topoloxías nun conxunto $X$ é un retícula complementada; é dicir, dada unha topoloxía $\tau$ en $X$ existe unha topoloxía $\tau '$ en $X$ tal que a intersección $\tau \cap \tau '$ é a topoloxía trivial e a topoloxía xerada pola unión $\tau \cup \tau '$ é a topoloxía discreta.

Se o conxunto $X$ ten polo menos tres elementos, a retícula de topoloxías $X$ non é modular, e, polo tanto, tampouco non é distributiva.

Véxase tamén

Bibliografía

Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77–78. ISBN 0-13-181629-2. 

Outros artigos

• Topoloxía inicial, a topoloxía máis grosa dun conxunto para facer que unha familia de mapeamentos a partir dese conxunto sexa continua.
• Topoloxía final, a topoloxía máis fina dun conxunto para facer que unha familia de mapeamentos neste conxunto sexa continua.