Nó de trevo

O nó trevo, nó de trevo ou nó trifolio é o exemplo máis sinxelo dun nó non trivial. Pódese obter unindo os dous extremos, dando como resultado un lazo anoado. Do mesmo xeito que o nó simple, o nó trevo é fundamental para o estudo da teoría matemática de nós, onde ten diversas aplicacións en topoloxía e xeometría.

Como facer un nó de trevo (vídeo)

O nó chámase así polo seu parecido coas follas do trevo.

Descrición

O nó de trevo pódese definir coas seguintes ecuacións paramétricas:

· $x=\sin t+2\sin 2t$

$\qquad y=\cos t-2\cos 2t$

$\qquad z=-\sin 3t$

Calquera deformación continua da curva anterior tamén é considerada un nó de trevo. En concreto, calquera curva isotópica nun nodo de trevo tamén se considera un nodo de trevo. Ademais, a imaxe especular (ou espellada) dun nó de trevo tamén se considera un trevo. En topoloxía e teoría de nós, o trevo normalmente defínese usando un diagrama de nós en lugar dunha ecuación paramétrica explícita.

Na xeometria alxébrica, o trevo tamén pode ser obtido como a intersección en C² da esfera tridimensional unitaria S³ coa curva plana complexa de ceros do polinomio complexo z² + w³ (unha parábola semicúbica).

Se un extremo dunha cinta ou faixa se xira tres veces e despois se pega ao outro, o bordo do papel forma un nó de folla de trevo.

Simetría

O nó de trevo é quiral, no sentido de que se pode distinguir da súa propia imaxe especular. As dúas variantes resultantes coñécense como trevo zurdo e trevo destro. Non é posíbel deformar continuamente un trevo zurdo nun trevo destro, ou viceversa. (É dicir, os dous trevos non son isotópicos). Aínda que o nó trevo é quiral, tamén é invertíbel, o que significa que non hai distinción entre un trevo orientado no sentido antihorario e un trevo orientado no sentido horario. É dicir, a quiralidade dun trevo depende só da forma en que se producen os cruces, non da orientación da curva.

O nó da man convértese nun nó de trevo xuntando os extremos.

Non trivialidade

O nó de trevo non é trivial, o que significa que non é posible "desatar" un nó de trevo en tres dimensións sen cortalo. Desde un punto de vista matemático, isto significa que un nó trevo non é isotópico a un círculo, que é o nó trivial. En particular, non hai unha secuencia de movementos de Reidemeister que desata un trevo.

Probar isto require construír un nodo invariante que distinga o trevo do nodo trivial. O invariante máis sinxelo que fai isto é a propiedade de ser tricolorizábel ou non: o trevo é tricolorizábel, pero o nó trivial non. Ademais, practicamente todos os invariantes de nós polinómicos distinguen o trevo dun nodo trivial, como a maioría dos invariantes de nodos relevantes.

Clasificación

Na teoría dos nós, o nó de trevo é o primeiro nó non trivial, e é o único nó con tres cruces. É un nodo primo, e aparece como 3_1 en notación de Alexander-Briggs. A notación de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notación de Conway para o trevo é [3].

O trevo pódese describir como o nó toral (2,3). Tamén é o nó que se obtén ao pechar a trenza σ13.

O trevo é un nó alternado. Non obstante, non é un nó de corte, o que significa que non restrinxe un disco bidimensional suave á bola de catro dimensións; unha forma de probalo é notar que a súa sinatura non é cero. Outra proba é que o teu polinomio de Alexander non cumpre a condición de Fox-Milnor.

O trevo é un nó fibrado, o que significa que o seu complemento $S^{3}$ é un feixe de fibras no círculo $S^{1}$. No modelo trevo como o conxunto de pares $(z,w)$ de números complexos tales que $|z|^{2}+|w|^{2}=1$ e $z^{2}+w^{3}=0$, este paquete de fibras ten o mapa de Milnor $\phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|$ como a súa fibración, e un toro cun burato como superficie da fibra.

invariantes

O polinomio de Alexander do nó de trevo éː

$\Delta (t)=t-1+t^{-1},\,$

e o polinomio de Conway éː

$\nabla (z)=z^{2}+1.$

O polinomio de Jones é ː

$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},\,$

e o polinomio de Kauffman do trevo éː

$L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.\,$

O grupo do nó do trevo vén dado pola presentación

$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle \,$

ou, equivalentemente,

$\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .\,$

Este grupo é isomorfo ao grupo de trenzas de tres cordas.

Na relixión e na cultura

Artigo principal: Shamrock.

Como o nó non trivial máis sinxelo, o nó trevo é un motivo común en iconografía e artes visuais. Por exemplo, a forma común do símbolo triquetra é un trevo, como algunhas versións do Valknut. Tamén é un símbolo usado empregado por San Patricio como metáfora da Trindade, debido a que xa era unha planta e un número (o tres) significativo para os nativos da illa.

Galería de fotos

• 
  Superficie dun nó de trevo
• 
  Superficie non orientábel dun nó de trevo
• 
  Forma dun nó de trevo sen simetría visual tridimensional
• 
  O nó de trevo é un nó tricolorizábel
• 
  Visualización tridimensional dunha curva isotópica ao nó de trevo
• 
• 
• 
  Superficie ilustrando o bordo do nó trifolio, parte do acervo da Matemateca IME-USP

Véxase tamén

Outros artigos

• Nó
• Teoría de nós
• Triquetra, símbolo orixinario da tradición celta e doutras tradicións que se relaciona co nó de trevo
• Cruz carolinxia
• Trevo
• Shamrock

Ligazóns externas

• Wolframalpha: nó (2,3)-toro