Lei de Titius-Bode

A lei de Titius-Bode, chamada tamén ás veces só lei de Bode, relaciona a distancia dun planeta ó Sol co número da orde do planeta mediante unha regra simple. Matematicamente trátase dunha sucesión que facilita a distancia dun planeta ó Sol.

Gráfica dos valores preditos da lei de Titius-Bode contra os valores reais dos planetas do sistema solar.

A lei orixinal era

$a={\frac {n+4}{10}}$

onde n = 0, 3, 6, 12, 24, 48..., con cada valor de n dous veces o valor anterior e sendo a o semieixo da órbita. Facendo cálculos pódese observar a relación existente entre os valores obtidos por esta lei e os valores reais dos planetas:

• Fórmase a sucesión:

0, 3, 6, 12, 24, 48, 96...

• Engádese 4 a cada termo da sucesión:

4, 7, 10, 16, 28, 52, 100,...

• E divídese entre 10 cada termo da sucesión:

0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10.0, ...

Naquela época só se coñecían os planetas clásicos: Mercurio, Venus, Terra, Marte, Xúpiter e Saturno, sendo os seus valores: 0.38, 0.72, 1, 1.52, 5.2, 9.54

Descubrimento e importancia histórica

A lei foi descuberta en 1766 por Johann Daniel Titius e atribuíuselle en 1772 ó director do observatorio de Berlín, Johann Elert Bode, de aí o nome da lei.

O descubrimento de Urano por William Herschel en 1781 non fixo máis que confirmar a lei publicada só tres anos antes e levou a que no cuarto lugar a 2,8 U.A. faltaba un planeta. No congreso astronómico que tivo lugar en Gotha, Alemaña, en 1796, o francés Joseph Lalande recomendou a súa busca. Entre cinco astrónomos se repartiron o ceo na busca do quinto planeta e finalmente o 1 de xaneiro de 1801, no Observatorio de Palermo o monxe Giuseppe Piazzi que non pertencía á comisión de busca descubriu Ceres o primeiro dos asteroides. O día 3 de xaneiro o corpo desprazárase un terzo da lúa en dirección oeste. Ata o 24 non publicou o seu descubrimento crendo que era un cometa. Carl Friedrich Gauss inventou ex profeso para Ceres un procedemento de cálculo da órbita con tal de aproveitar os poucos datos da órbita conseguidos por Piazzi. Calculada a súa órbita, resultou un corpo que orbitaba entre Marte e Xúpiter.

A lei de Bode tivo unha grande importancia no desenvolvemento da Astronomía de finais do século XVIII e comezos do século XIX.

Formulacións modernas da lei de Bode

A formulación moderna é que a distancia dun planeta ó Sol en UAs é:

$a=0.4+0.3\times k$

onde k =0,1,2,4,8,16,32,64,128 (0 seguidos polas potencias de 2)

Para os planetas exteriores, o primeiro termo é desprezable, e a interpretación é que cada planeta está aproximadamente a dúas veces a distancia do sol con respecto ó anterior. É dicir, as distancias dos planetas están en progresión xeométrica.

A distancia dun planeta ó Sol é dúas veces a distancia ó Sol do anterior.

As distancias dos planetas calculados pola lei de Bode comparadas coas reales son:

Planeta	k	Distancia lei T-B	Distancia real
Mercurio	0	0,4	0,39
Venus	1	0,7	0,72
Terra	2	1,0	1,00
Marte	4	1,6	1,52
cinto de asteroides1	8	2,8	2,77
Xúpiter	16	5,2	5,20
Saturno	32	10,0	9,54
Urano	64	19,6	19,2
Neptuno	n/a2		30,06
Plutón	128	38,8	39,44

¹ O cinto de asteroides ten que ser considerado un planeta para cubrir o oco de k=8, o número tomado para a distancia ó Sol (2,77 UA) é realmente o do asteroide máis grande do Cinto, Ceres.

² Neptuno viola a lei caendo a medio camiño entre o k=64 e k=128. Plutón está considerado un planeta anano.

Explicación teórica

Non hai ningunha explicación teórica sólida da lei de Titius-Bode, non se sabe se esta é simplemente unha coincidencia numérica ou unha regra máis fundamental da mecánica celeste.

Os resultados da simulación de formación planetaria parecen apoiar a idea de que a lei Titius-Bode é unha consecuencia natural da formación planetaria, segundo as teorías actuais nesta área.

Aplicación a outros Sistemas de satélites

Hai só un limitado número de sistemas nos que a lei de Bode pode probarse. Xúpiter, Saturno e Urano teñen varias lúas grandes que se asemellan a planetas en canto ó seu proceso de creación. Na aplicación ós satélites debemos ter presente que hai que descartar todos aqueles que non se formaron nas proximidades do planeta senón que foron capturados pola gravidade deste. Estes corpos caracterízanse por ser pequenos, xirar nun plano moi distinto dos satélites grandes ou incluso ter un movemento retrogrado.

Aplicación aos satélites de Xúpiter

Axuste liñal logarítmico ás distancias dos satélites de Xúpiter

Os catro satélites galileanos de Xúpiter máis o satélite interno máis grande Amaltea cumpren perfectamente a lei de Bode:

$\log a=0,2417\times n+5,0724$ con n=1,2,3,4,5

e unha correlación r=0,9925. Amaltea hai que consideralo porque a pesar de ter só 200 km. xira na órbita dos satélites galileanos.

Resulta que

$a=e^{0,55992\times n+11,6796}$

$a=118137,8\times (1,75053)^{n}$

En radios do planeta:

$a=1,6524\times (1,75053)^{n}$

Observemos que dun planeta ao seguinte no Sistema Solar ou nos satélites de Xúpiter o valor é moi semellante.

Aplicación aos satélites de Urano

Axuste lineal logarítmico ás distancias dos satélites de Urano.

As lúas grandes de Urano teñen unha adaptación á lei de Bode magnífica:

$\log a=0,169036\times n+4,9432$ con n=1,2,3,4,5

e unha correlación r=0,9943. É dicir:

$a=87738\times (1,47583)^{n}$ en Km.

En radios do planeta:

$a=3,5505524\times (1,47583)^{n}$

Mentres que os primeiros satélites están a uns 3 radios do planeta, Mercurio está a 83,24 radios solares. Non obstante o crecemento ten unha taxa bastante semellante.

Aplicación aos satélites de Saturno

Axuste lineal logarítmico ás distancias dos satélites de Saturno.

A aplicación ás lúas de Saturno presenta máis problemas. O que se fai é axustar aos satélites grandes máis internos: Xano, Mimas, Encelado, Tetis, Dione e Rea con n=1 ata 6. Agora axústanse os demais ata que caian sobre a recta. Fai falla deixar os ocos 7 e 8 ata chegar a Titán e Hiperión que serían n=9 e 10 respectivamente. Iapeto sería o n=13 e Febe o n=18.

O axuste sería:

$\log a=0,11564\times n+5,0305$ con n=1,2,3,4,5,6,9,10,13,18

e unha correlación de 0,9995.

É dicir:

$a=107272,6\times (1,30509)^{n}$ en Km.

En radios do planeta:

$a=1,79157\times (1,30509)^{n}$