Integral múltiple

Unha integral múltiple é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo, $f(x,y)$ ou $f(x,y,z)$. As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R² chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R³ chámanse integrais triplas.

A integral dobre como o volume baixo unha superficie. A rexión rectangular baixo a figura é o dominio de integración, mentres que a superficie é a gráfica da función de dúas variables da integral.

Introdución

Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva $f(x)$ dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva $f(x,y)$ de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función $f(x,y,z)$ definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se $f(x,y,z)=1$ o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.

A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita:

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples indefinidas non existen.

Definición

Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ e unha rexión $T$ no espazo definido polos eixes das variables independentes da función $f$ (se $T$ é unha rexión pechada e limitada e $f$ está definida nesta). Por exemplo, se $n=2$, o volume situado entre a superficie definida por $x_{3}=f(x_{1},x_{2})$ e unha rexión $T$ no plano $X_{1}X_{2}$ é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou, $f$ está definida en $T$.

$T$ pode dividirse nunha partición interior $\Delta$ formada por $m$ subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en $T$. A norma $||\Delta ||$ desta partición está dada pola diagonal máis longa nas $m$ subrexións.

Se se toma un punto $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ que estea contido dentro da subrexión con dimensións $\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}...\Delta x_{ni}$ para cada unha das $m$ subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ e a subrexión i. Este espazo terá unha magnitude de:

$f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta A_{i}=f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación $x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})$ e a rexión $T$ mediante a suma de Riemann das magnitudes dos $m$ espazos correspondentes a cada unha das subrexións:

$\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

Esta aproximación mellora a medida que o número $m$ de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición:

$\lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a L se e só se para todo $\varepsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que

$\left|L-\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}\right\vert <\varepsilon$

para toda partición $\Delta$ da rexión $T$(que satisfaga $||\Delta ||<\delta$), e para todas as eleccións posibles de $(x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})$ na i-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple:

Se $f$ está definida nunha rexión pechada e limitada $T$ do definido polos eixes das variables independentes de $f$, a integral de $f$ sobre $T$ está dada por:

$\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}$

sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que $f$ é integrable con respecto a $T$.

Propiedades

As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se f e g son funcións continuas nunha rexión pechada e limitada D nun espazo Rⁿ e c unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:

1.

$\iint \ldots \int _{D}\;cf(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}=c\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}dx_{2}\ldots dx_{n}$

2.

$\iint \ldots \int _{D}\,[f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\pm g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})]dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}=$

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\pm \iint \ldots \int _{D}\,g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

3.

Se $\quad f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\geq 0$, entón:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\geq 0$

4.

Se $\quad f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\geq g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, entón:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}\geq \iint \ldots \int _{D}\,g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

5.

Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón:

$\iint \ldots \int _{D}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}=$

$\iint \ldots \int _{D_{1}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}+\iint \ldots \int _{D_{2}}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})dx_{1}\,dx_{2}\ldots \,dx_{n}$

Integrais múltiples e integrais iteradas

As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx$

se refire a unha integral iterada, a parte externa

$\int _{a}^{b}\cdots \,dx$

é a integral con respecto a x da función de x:

$g(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy.$

Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é dydx ou dxdy, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten:

$\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.$

Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que

$\int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,$

Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada.

$\int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.$

Isto ocorre, cando $f$ é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.

A notación

$\int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy$

pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada.

Métodos de integración

Funcións constantes

No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante c pola medida do dominio de integración. Se c = 1, e é integrada a través dunha rexión de R² isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R³ dá o volume da rexión e así sucesivamente.

Por exemplo:

$D=\{(x,y)|\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}$ y $f(x,y)=c\,\!$

Integrando f sobre D:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ c\ dx\,dy=c\cdot {\mbox{area}}(D)=c\cdot (3\cdot 2)=c\cdot 6.$

Uso de simetrías

No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo

Dada $f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5$ e que $T=x^{2}+y^{2}\leq 1$ é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.

Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes:

$\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}2\ \sin(x)\ dx\,dy-\iint _{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint _{T}5\ dx\ dy$

Xa que tanto 2 sen(x) como 3y³ son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira. $\iint _{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint _{T}5\ dx\,dy=5\pi$

Cambio de variables

En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.

Se se emprega unha transformación que siga a relación:

$f(y_{1},\ldots ,y_{n})\rightarrow f(x_{1}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),\ldots ,x_{n}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))$

Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral

$J={\frac {D(y_{1},\ldots ,y_{n})}{D(x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}$

Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables x, y multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe.

$\iint \ldots \int _{D}\,f(y_{1},\ldots ,y_{n})dy_{1}\ldots \,dy_{n}=\iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})|J|dx_{1}\ldots \,dx_{n}$

A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.

Coordenadas polares

Transformación de coordenadas rectangulares a polares. Pódese notar que a área da rexión polar é distinta da área da rexión rectangular, o que justifica a necesidade do jacobiano. Tamén se pode demostrar que se se considera $\rho =(\rho _{1}+\rho _{2})/2$ (o raio medio), a área da rexión polar é efectivamente $\rho \Delta \rho \Delta \theta$.

Nun espazo R², un dominio de integración que teña unha simetría circular é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación:

$f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta )$

Por exemplo:

Se a función é $f(x,y)=x+y\,\!$

aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a $\phi$ e a $\rho$

$f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).$

Pódense obter funcións mesmo máis simples:

Se a función é $f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!$

Tense:

$f(\rho ,\theta )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho ^{2}\,\!$

se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.

O determinante jacobiano da transformación é:

${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}=\rho$

que se obtén inserindo as derivadas parciais de x = ρ cos(θ), e = ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.

Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal:

$\iint _{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \,d\rho \,d\theta .$

Coordenadas esféricas

Gráfica das coordenadas esféricas.

Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación:

$f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!$

O determinante jacobiano da transformación é:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (y)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (z)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\phi )}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \phi$

Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.

Por tanto os diferenciais dx dy dz transfórmanse en ρ² sen(φ) dρ dθ dφ.

Finalmente obtense a fórmula de integración:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .$

Coordenadas cilíndricas

Gráfica das coordenadas cilíndricas (Móstrase o ángulo θ como φ).

O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación:

$f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta ,z)$

O determinate jacobiano da transformación é:

${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\rho \sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho$

Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \,d\rho \,d\theta \,dz.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Larson, Roland E.; Hosteler, Robert P.; Edwards, Bruce H. "Integración Múltiple". Cálculo Volumen 2 (en castelán). Cidade de México: McGrawHill. ISBN 970-10-2756-6. 

Outros artigos

• Integral
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes
• Teorema da diverxencia
• Teorema de Fubini
• Integral de Riemann