Grao dun polinomio

O grao dun termo dunha variábel nun polinomio é o expoñente desa variábel nese termo. E o grao dun polinomio e o grao do termo de maior grao.

Por exemplo, en $2x^{3}+4x^{2}+x+7$, o termo de maior grao é $2x^{3}$; dise que este termo e, polo tanto, todo o polinomio, é de grao 3.

Nos polinomios de dúas ou máis variábeis, o grao dun termo é a suma dos expoñentes das variábeis nese termo; o grao do polinomio, de novo, é o grao maior. Por exemplo, o polinomio $x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y$ ten grao 4, o mesmo grao que o termo $x^{2}y^{2}$.

Comportamento baixo operacións con polinomios

Comportamento baixo a suma

O grao da suma (ou diferenza) de dous polinomios é menor ou igual ao maior dos dous graos: $$\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q)).$$$$\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q)).$$

Por exemplo,

• O grao de $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ é 3. Teña en conta que 3 ≤ máximo (3, 2).
• O grao de $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ é 2. Teña en conta que 2 ≤ máximo (3, 3).

Comportamento baixo a multiplicación

O grao do produto dun polinomio por un escalar distinto de cero é igual ao grao do polinomio; é dicir,

$\deg(cP)=\deg(P)$.

Por exemplo, o grao de $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ é 2, que é igual ao grao de $x^{2}+3x-2$.

Así, o conxunto de polinomios (con coeficientes dun corpo dado F) cuxos graos son menores ou iguais a un número dado n forma un espazo vectorial.

Máis xeralmente, o grao do produto de dous polinomios sobre un corpo ou un dominio de integridade é a suma dos seus graos:

$\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

Por exemplo, o grao de $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ é 5 = 3 + 2.

Para polinomios sobre un anel arbitrario, as regras anteriores poden non ser válidas, debido á cancelación que pode ocorrer ao multiplicar dúas constantes distintas de cero. Por exemplo, no anel $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ de números enteiros módulo 4, temos $\deg(2x)=\deg(1+2x)=1$, maos $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$, que non é igual á suma dos graos dos factores.

Comportamento baixo a composición de funcións

O grao da composición de dous polinomios non constantes $P$ e $Q$ nun corpo ou dominio de integridade é o produto dos seus graos: $$\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).$$

Por exemplo, se $P=x^{3}+x$ ten o grao 3 e $Q=x^{2}-1$ ten o grao 2, daquela a súa composición é $P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,$ que ten o grao 6.

Véxase tamén

Bibliografía

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right (2nd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387982595. 
• Childs, Lindsay N. (1995). A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387989990. 
• Childs, Lindsay N. (2009). A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387745275. 
• Grillet, Pierre Antoine (2007). Abstract Algebra (2nd ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387715681. 
• King, R. Bruce (2009). Beyond the Quartic Equation. Springer Science & Business Media. ISBN 9780817648497. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999). Algebra (3rd ed.). American Mathematical Society. ISBN 9780821816462. 
• Shafarevich, Igor R. (2003). Discourses on Algebra. Springer Science & Business Media. ISBN 9783540422532. 

Outros artigos

• Teorema fundamental da álxebra.