Espiral dourada

(Redirección desde «Espiral áurea»)

A espiral dourada (denominada tamén espiral áurea) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado.[1] A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

Espiral áurea construída a partir da evolución dun rectángulo dourado.
As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais)

Desenvolvemento matemático

editar

A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento ( ) igual Φ, isto é:[2]

 

ou, da mesma forma

 

Sendo e a base do logaritmo natural,   é unha constante real positiva e   é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:

 

Por tanto,   atópase determinado por

 

O valor numérico de   depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como   pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:

 
Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
  para θ en graos
 para θ en radiáns

Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:[3]

 

onde a constante   está determinada por:

 

para a espiral dourada os valores de   son:

 

se θ se mide en graos sexaxesimais, e

 

se θ se mide en radiáns.

 
Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

Aproximacións á espiral dourada

editar

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais.[4] Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.

Galería

editar
  1. Steven L. Griffing, (2007), The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion, Elsevier, New York, pág. 121-124
  2. Priya Hemenway (2005). Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227. 
  3. Klaus Mainzer (1996). Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3110129906. 
  4. Charles B. Madden (1999). Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis. High Art Press. pp. 14–16. ISBN 0967172764. 

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar