Conxunto pechado

En topoloxía, un conxunto dise pechado nun espazo se o seu complementario for aberto.

Propiedades

• Un conxunto X é pechado se e só se coincide co seu peche, ou sexa, se $X={\overline {X}}$
• Un conxunto é pechado se e só se contén a súa fronteira.
• A unión dun número finito de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
• A intersección dun número calquera de conxuntos pechados é un conxunto pechado.
• Calquera conxunto é pechado en si mesmo.
• X é un conxunto pechado se, e só se, o conxunto dos puntos de acumulación de X, denotado por $X'$, chamado derivado, estiver contido no propio conxunto X, ou sexa: $X'\subseteq X$ (lese: o derivado está contido, é unha parte do conxunto X) .

Exemplos

• Calquera intervalo pechado é un conxunto pechado en $\mathbb {R}$ (coa topoloxía usual onde o conxunto dos intervalos abertos forman unha base de abertos para a topoloxía).
• $\mathbb {N}$ e $\mathbb {Z}$ son pechados en $\mathbb {R}$.
• Na topoloxía inducida en $(0,+\infty )\,$ pola inclusión en $\mathbb {R}$, o conxunto ]0,1], dos números reais maiores que cero e menores ou iguais a un, é pechado.
• Na topoloxía discreta, todo subconxunto é pechado.
• Se a topoloxía é Hausdorff, todo conxunto unitario (e, por indución, todo conxunto finito) é pechado.
• O conxunto dos números reais $\mathbb {R}$ é o complementario do conxunto aberto $\varnothing$, e $\varnothing$ é o complementario do aberto $\mathbb {R}$. Entón, estes dous conxuntos son pechados e abertos ao mesmo tempo .
• Existen conxuntos que non son pechados nin abertos, como o conxunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais, o conxunto $\mathbb {R} -\mathbb {Q}$ ou un intervalo do tipo [a,b) ou (a,b] .

Definicións alternativas

Os axiomas dunha topoloxía poden ser igualmente formulados a través dunha colección de abertos (a definición usual) ou a través dunha colección de pechados. Neste segundo caso, os abertos son definidos como complementos de pechados.

Outra definición, mais didáctica, é definir un aberto como un conxunto no que todo punto é interior, un pechado cun conxunto que contén todos os seus puntos de acumulación, e demostrar o teorema que abertos e pechados son complementos.

Véxase tamén

Outros artigos

• Conxunto perfecto