Xeometría de Riemann
En xeometría diferencial, a xeometría de Riemann é o estudo das variedades diferenciais con métricas de Riemann; é dicir dunha aplicación que a cada punto da variedade, lle asigna unha forma cadrática definida positiva no seu espazo tanxente, aplicación que varía suavemente dun punto a outro. Isto dá ideas locais de (entre outras magnitudes) ángulo, lonxitude de curvas, e volume. A partir destas, poden obterse outras magnitudes por integración das magnitudes locais.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/82/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg/220px-Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg)
Foi proposta por primeira vez de forma xeral por Bernhard Riemann no século XIX. Como casos especiais particulares aparecen os dous tipos convencionais (xeometría elíptica e xeometría hiperbólica) da xeometría non euclidiana, así como a xeometría euclidiana mesma. Todas estas xeometrías trátanse sobre a mesma base, do mesmo xeito que unha ampla gama das xeometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.
Calquera variedade diferenciable admite unha métrica de Riemann e esta estrutura adicional axuda a miúdo a solucionar problemas de topoloxía diferencial. Tamén serve como un nivel de entrada para a estrutura máis complicada das variedades pseudo-Riemann, as cales (no caso particular de ter dimensión 4) son os obxectos principais da teoría da relatividade xeral.
Non hai introdución fácil á xeometría de Riemann. Os artigos seguintes poden servir como introdución:
Teoremas clásicos na xeometría de Riemann
editarA seguir, unha lista non completa dos teoremas máis clásicos da xeometría de Riemann. A elección faise dependendo da súa beleza, importancia e simplicidade da formulación:
- Teorema de Gauss-Bonnet: A integral da curvatura de Gauss nunha variedade de Riemann compacta de 2 dimensións é igual a , aquí denota a característica de Euler de .
- Teorema de inmersión de Nash, tamén chamado teorema fundamental da xeometría de Riemann: Indican que cada variedade de Riemann pode ser isometricamente mergullada nun espazo euclidiano Rn.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Berger, Marcel (2000). Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century. University Lecture Series 17. Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2052-4.
- Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). Comparison theorems in Riemannian geometry. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing.; Reimpresión revisada do orixinal de 1975.
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian geometry. Universitext (3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag.
- Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2..
- Petersen, Peter (2006). Riemannian Geometry. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98212-4.
Outros artigos
editarLigazóns externas
editar- Weisstein, Eric W. «Riemannian Geometry» en MathWorld