Xeometría de Riemann

En xeometría diferencial, a xeometría de Riemann é o estudo das variedades diferenciais con métricas de Riemann; é dicir dunha aplicación que a cada punto da variedade, lle asigna unha forma cadrática definida positiva no seu espazo tanxente, aplicación que varía suavemente dun punto a outro. Isto dá ideas locais de (entre outras magnitudes) ángulo, lonxitude de curvas, e volume. A partir destas, poden obterse outras magnitudes por integración das magnitudes locais.

Bernhard Riemann

Foi proposta por primeira vez de forma xeral por Bernhard Riemann no século XIX. Como casos especiais particulares aparecen os dous tipos convencionais (xeometría elíptica e xeometría hiperbólica) da xeometría non euclidiana, así como a xeometría euclidiana mesma. Todas estas xeometrías trátanse sobre a mesma base, do mesmo xeito que unha ampla gama das xeometrías con propiedades métricas que varían de punto a punto.

Calquera variedade diferenciable admite unha métrica de Riemann e esta estrutura adicional axuda a miúdo a solucionar problemas de topoloxía diferencial. Tamén serve como un nivel de entrada para a estrutura máis complicada das variedades pseudo-Riemann, as cales (no caso particular de ter dimensión 4) son os obxectos principais da teoría da relatividade xeral.

Non hai introdución fácil á xeometría de Riemann. Os artigos seguintes poden servir como introdución:

Teoremas clásicos na xeometría de Riemann

A seguir, unha lista non completa dos teoremas máis clásicos da xeometría de Riemann. A elección faise dependendo da súa beleza, importancia e simplicidade da formulación:

• Teorema de Gauss-Bonnet: A integral da curvatura de Gauss nunha variedade de Riemann compacta de 2 dimensións é igual a $2\pi \chi (M)$, aquí $\chi (M)$ denota a característica de Euler de $M$.
• Teorema de inmersión de Nash, tamén chamado teorema fundamental da xeometría de Riemann: Indican que cada variedade de Riemann pode ser isometricamente mergullada nun espazo euclidiano Rⁿ.

Véxase tamén

Bibliografía

• Berger, Marcel (2000). Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century. University Lecture Series 17. Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2052-4. 
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008). Comparison theorems in Riemannian geometry. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing. ; Reimpresión revisada do orixinal de 1975.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian geometry. Universitext (3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag. 
• Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. .
• Petersen, Peter (2006). Riemannian Geometry. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98212-4. 

Outros artigos

• Tensor métrico
• Variedade de Riemann
• Conexión de Levi-Civita
• Curvatura
• Tensor de curvatura

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. «Riemannian Geometry» en MathWorld