Teorema de Pascal

No ámbito da xeometría proxectiva, o teorema de Pascal (tamén denominado Hexagrammum Mysticum) establece que:

Teorema de Pascal. Recta de Pascal OPQ do hexágono cíclico ABCDEF inscrito nunha elipse.

Recta de Pascal Recta de Pascal P₇P₈P₉ do hexágono cíclico P₁P₂P₃P₄P₅P₆ inscrito nunha elipse. Os lados opostos do hexágono teñen a mesmo cor.

Se un hexágono arbitrario ABCDEF está inscrito nalgunha sección cónica, e se estenden os pares de lados opostos ata que se corten, os tres puntos OPQ nos que se intersecan estarán sobre unha liña recta, denominada a recta de Pascal desta configuración.

Na súa configuración máis clásica, o teorema adóitase visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito nunha elipse (é dicir, cos seus vértices unidos correlativamente na orde en que aparecen ao percorrer a cónica). Con todo, o teorema tamén se cumpre sexa cal for a orde na que se conecten o seis puntos (de acordo co concepto de hexágono arbitrario que se inclúe no enunciado do teorema). De igual forma, verifícase para calquera cónica (como é ben sabido, recta, circunferencia, elipse, parábola ou hipérbole).

Por exemplo, na segunda imaxe represéntase a materialización do teorema nun hexágono auto-intersecante inscrito nunha elipse, no que os puntos da recta de Pascal resultan do corte dos propios lados do polígono, sen necesidade de prolongalos.

Así mesmo, tamén se cumpre no caso de "hexágonos dexenerados", nos que varios vértices poden ser coincidentes entre si (é dicir, con lados de lonxitude cero), na práctica polígonos de 5, 4 ou 3 lados. Nestes casos, os lados substitúense por tanxentes á cónica nos puntos dados.

Este teorema é unha xeneralización do teorema do hexágono de Pappus, e é o dual proxectivo do teorema de Brianchon. Foi descuberto por Blaise Pascal en 1639 cando só tiña dezaseis anos.

Teoremas de Pascal-Brianchon

Na figura (Teoremas de Pascal-Brianchon) pode verse unha demostración do teorema utilizando o concepto de inversión e a propiedade de que unha figura é unha recta se e só se a súa inversa é unha circunferencia que pasa polo centro de inversión.

O teorema foi xeneralizado por Möbius en 1847, na seguinte forma: se un polígono con 4n + 2 lados está inscrito nunha sección cónica, e prolongamos os pares de lados opostos ata que se intersecan en 2n + 1 puntos. Entón se 2n puntos se achan sobre unha liña común, o punto o outro punto tamén se atopará situado sobre devandita liña.

Véxase tamén

Bibliografía

• Guggenheimer, Heinrich W. (1967). Plane geometry and its groups. San Francisco, Calif.: Holden-Day Inc. 0213943. 
• van Yzeren, Jan (1993). A simple proof of Pascal's hexagon theorem. 1252929. 
• Fraivert, David (2016). The theory of a convex quadrilateral and a circle that forms Pascal points - the properties of Pascal points on the sides of a convex quadrilateral.