Abrir o menú principal

En matemáticas, chámase serie de Fourier, a aquela da forma:

onde e denomínanse coeficientes de Fourier da serie de Fourier da función y(x).

Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódicaEditar

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e  , e   daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencialEditar

Pola identidade de Euler( ), e operando adecuadamente, se

 

a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

 

En forma máis compacta:

 

AplicaciónsEditar

Solución de ecuacións diferenciaisEditar

A ecuación a resolver

EnxeñaríaEditar

É común substituír a variábel x por ωt, resultando as compoñentes:

 

Polo tanto:

 

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de expEditar

Debido a que as "funcións base" eikx son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

  1. Se   daquela  
  2. A transformada de Fourier é un morfismo:  —isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeralEditar

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións ei n x.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar


 
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.