Sector circular

Un sector circular, ou simplemente sector (símbolo: ⌔ ), é a porción dun círculo encerrada por dous raios e un arco, sendo a área máis pequena coñecido como o sector menor e o maior é o sector maior . No diagrama, θ é o ángulo central, $r$ o raio do círculo, e $L$ é a lonxitude do arco do sector menor.

O sector secundario está sombreado en verde mentres que o sector principal está sombreado en branco.

Tipos

Un sector cun ángulo central de 180° chámase semicírculo e está limitado por un diámetro. Ás veces, os sectores con outros ángulos centrais reciben nomes especiais, como cuadrantes (90°), sextantes (60°) e octantes (45°), que veñen de que o sector é unha 4ª, 6ª ou 8ª parte dun círculo completo, respectivamente.

Área

A área total dun círculo é πr². A área do sector pódese obter multiplicando a área do círculo pola razón do ángulo θ (expresado en radiáns) e 2π (porque a área do sector é directamente proporcional ao seu ángulo, e 2π é o ángulo para o círculo enteiro, en radiáns):

$$A=\pi r^{2}\,{\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$$

A área dun sector en termos de L pódese obter multiplicando a área total πr² pola relación de L co perímetro total 2πr.

$$A=\pi r^{2}\,{\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}$$

Tamén se pode considerar esta área como o resultado da seguinte integral:

$$A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}$$

Convertendo o ángulo central en graos temos

$$A=\pi r^{2}{\frac {\theta ^{\circ }}{360^{\circ }}}$$

Perímetro

Para calcular a lonxitude do perímetro dun sector temos a suma da lonxitude do arco e dos dous raios:

$$P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)$$

onde θ está en radiáns.

Lonxitude do arco

A fórmula para a lonxitude dun arco é:

$$L=r\theta$$

aquí L representa a lonxitude do arco, r representa o raio do círculo e θ representa o ángulo formado polo arco no centro do círculo medido en radiáns.

Cando o valor do ángulo se dá en graos, tamén podemos usar a seguinte fórmula:

$$L=2\pi r{\frac {\theta }{360}}$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Gerard, L. J. V., The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic (London, Longmans, Green, Reader and Dyer, 1874), p. 285.
• Legendre, A. M., Elements of Geometry and Trigonometry, Charles Davies, ed. (New York: A. S. Barnes & Co., 1858), p. 119.