Foxo de Gauss

Problemas sen solucionar en matemáticas:

No plano complexo, é posíbel "camiñar ata o infinito" nos enteiros de Gauss usando os primos de Gauss como pasos e facendo pasos de lonxitude limitada??

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

Na teoría dos números, o problema do foxo de Gauss pregúntase se é posíbel atopar unha secuencia infinita de números primos gaussianos distintos de tal forma que a diferenza entre números consecutivos na secuencia estea limitada. Se un imaxina que os números primos de Gauss son pedras sobresaíntes nun mar de números complexos, a cuestión é se se pode camiñar desde a orixe ata o infinito con pasos de tamaño limitado, sen mollarse. O problema foi exposto por primeira vez en 1962 por Basil Gordon (aínda que ás veces foi atribuído erróneamente a Paul Erdős) e segue sen resolverse.

Os primos gaussianos con parte real e imaxinaria como máximo sete, mostrando porcións dun foxo gaussiano de ancho dous que separan a orixe do infinito

Cos números primos habituais, tal sucesión é imposíbel: o teorema dos números primos implica que hai lagoas arbitrariamente grandes na secuencia de números primos.

Pódese definir mediante unha partición dos primos en dous subconxuntos e a súa anchura é a distancia entre o par máis próximo que ten un elemento en cada subconxunto. Así, o problema dos foxos de Gauss pódese formular dunha forma diferente pero equivalente: hai un límite finito nos anchos dos foxos que teñen un número finito de primos no lado da orixe?

Con cálculos computacionais viuse que a orixe está separada do infinito por un foxo de ancho 6 (como mínimo), que mellora o límite anterior de Gethner, Wagon e Wick que era ${\sqrt {26}}.$ Sábese que, para calquera número positivo k, existen números primos gaussianos cuxo veciño máis próximo está a distancia k ou maior, por tanto existen foxos de ancho arbitrariamente grande, mais estes foxos poden non estar necesariamente no camiño de saltos mínimos desde a orixe ao infinito.

Extensións a outros aneis

O mesmo problema pódese formular para os enteiros e os primos de Eisenstein que son números da forma $a+b\omega {\text{ onde }}\omega =e^{-i\pi /3}$.

Os cuaternións con todos os compoñentes enteiros chámanse enteiros de Lipschitz. Entón, imos os números primos sobre este anel son os primos de Lipschitz. Un enteiro de Lipschitz só é un primo de Lipschitz se a súa norma é primo. Por tanto podemos propor o mesmo problema sobre este anel en $\mathbb {H}$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Problema do camiño minimax.
• Problema do camiño mínimo.

Ligazóns externas

• Moat-Crossing Problem.