Ecuación linear

Unha ecuación de primeiro grao ou ecuación linear significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á primeira potencia. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.

Exemplo gráfico de ecuacións lineares.

Cunha incógnita

Unha ecuación dunha variable $mx+n=0$ definida sobre un corpo $\mathbb {K}$, é dicir, con $\{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0$ onde x é a variable, admite a seguinte solución:

$x=-{\frac {n}{m}}$

Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando m divide a n:

$\exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k$

Con dúas incógnitas

No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:

$y=mx+n$;

Onde $m$ representa a pendente e o valor de $n$ determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a ordenada na orixe).

Algúns exemplos de ecuacións lineares:

$3x+2y=5$

$3x+y-5=-7x+4y+3$

$x-y+z=15$

$3x-2y+z=20$

$x+4y-3z=10$

Formas alternativas

Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres x e y son variables.

• Ecuación xeral

$Ax+By+C=0$

A e B non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde x e y se anulan.

• Ecuación segmentaria ou simétrica

${\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1$

Nin E nin F poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en E e F respectivamente.

• Forma paramétrica

1. $x=Ut+x_{0}$
2. $y=Vt+y_{0}$

Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable t. Pode converterse á forma xeral despexando t en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto $(x_{0},y_{0})$ e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: $\tan \alpha =V/U$

• Casos especiales:

$y=F$

Un caso especial é a forma estándar onde $A=0$ y $B=1$ . O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si F = 0) coincidente con ese eixe.

$x=E$

Outro caso especial da forma xeral onde $A=1$ e $B=0$. O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en E.

$0=0$

Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais x e y.

Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como 1 = 0 entón a orixinal chámase inconsistente, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números x e y. Un exemplo podería ser: $3x+2=3x$.

Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.

Ecuación linear no espazo n-dimensional

As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma

$f(x,y)=a_{1}x+a_{2}y$

representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables $x_{i}\in \mathbb {K}$ e os coeficientes $x_{i}\in \mathbb {K}$, onde $\mathbb {K}$ é un corpo entón unha ecuación linear como

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}$

representa un hiperplano de n-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional $\mathbb {K} ^{n}$.

Sistemas de ecuacións lineares

Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.

$\left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\,x&-&3\,y&+&4\,z&=&8\\-3\,x&+&2\,y&+&6\,z&=&5\\4\,x&-&5\,y&+&3\,z&=&3\end{array}}\right.$

Se se consideran n ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.

Linearidade

Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:

$f(x+y)=f(x)+f(y)$

$f(\alpha x)=\alpha f(x)$

onde α é calquera escalar. Tamén se chama a f operador linear

Véxase tamén

Outros artigos

• Función linear
• Ecuación de segundo grao

Ligazóns externas

• Exercicios de ecuacións de primeiro grao