Distribución binomial negativa

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Distribución binomial negativa

Función de masa de probabilidade
Función de distribución
Parámetros	$r>0\!$ (real) $0<p<1\!$ (real)
Soporte	$k\in \{0,1,2,\ldots \}\!$
Función de densidade	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\!$
Función de distribución	$I_{p}(r,k+1){\text{ donde }}I_{p}(x,y)$ é a función beta incompleta regularizada
Media	${\frac {r}{p}}$
Mediana
Moda	$\lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor {\text{ si }}r>1$ $0{\text{ si }}r\leq 1$
Varianza	$r\,{\frac {1-p}{p^{2}}}$
Asimetría	${\frac {2-p}{\sqrt {r\,(1-p)}}}\!$
Curtose	${\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,(1-p)}}\!$
Entropía
F. xeradora de momentos	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!$
Func. caract.	$\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}\right)^{r}\!$

En estatística a distribución binomial negativa é unha distribución de probabilidade discreta que inclúe a distribución de Pascal.

O número de experimentos de Bernoulli de parámetro $\theta$ independentes realizados ata conseguir o k-ésimo éxito é unha variable aleatoria que ten unha distribución binomial negativa con parámetros k e $\theta$.

A distribución xeométrica é o caso concreto da binomial negativa cando k = 1.

Propiedades

A súa función de probabilidade é

$\!\ b^{*}(x;k,\theta )={x-1 \choose x-k}\theta ^{k}(1-\theta )^{x-k}={x-1 \choose k-1}\theta ^{k}(1-\theta )^{x-k}$

para enteiros x maiores o iguais que k, onde

$\!{x-1 \choose k-1}={x-1 \choose x-k}={\frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}}$.

A súa media é

$\!\mu ={\frac {k(1-\theta )}{\theta }}$

se se considera unicamente o número de fracasos e

$\!\mu ={\frac {k}{\theta }}$

se se contan tamén os k-1 éxitos.

A súa varianza é

$\!\sigma ^{2}={\frac {k(1-\theta )}{\theta ^{2}}}$

en ambos os casos.

Exemplos

• Se a probabilidade de que un neno exposto a unha enfermidade contaxiosa a contraia é 0,40, cal é a probabilidade de que o décimo neno exposto sexa o terceiro en contraela? Neste caso, X é o número de nenos expostos á enfermidade e $\!x=10,k=3,\theta =0,\!40$. A solución é $\!b^{*}(10;3;0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^{3}(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^{3}(0,\,6)^{7}=0,\!0645$
• Nun proceso de manufactura sábese que unha media de 1 de cada 10 produtos é defectuoso. Cal é a probabilidade de que o quinto artigo examinado sexa o primeiro en ser defectuoso? Se X conta o número de artigos defectuosos, $p=1/10=0,1;q=1-0,1=0,9;x=5$ ensaios e $k=1$, entón a solución é $b*(5;1,0.1)={5-1 \choose 1-1}(0.1)^{1}(0.9)^{5-1}=6.6\%$ de probabilidades.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Calculadora da distribución binomial negativa
• Cálculo da probabilidade dunha distribución binomial negativa con R (linguaxe de programación)