Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Distribución .
Distribución binomial negativa
Función de masa de probabilidade
Función de distribución
Parámetros
r
>
0
{\displaystyle r>0\!}
real )
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0<p<1\!}
Soporte
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}\!}
Función de densidade
Γ
(
r
+
k
)
k
!
Γ
(
r
)
p
r
(
1
−
p
)
k
{\displaystyle {\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\!}
Función de distribución
I
p
(
r
,
k
+
1
)
donde
I
p
(
x
,
y
)
{\displaystyle I_{p}(r,k+1){\text{ donde }}I_{p}(x,y)}
función beta incompleta regularizada
Media
r
p
{\displaystyle {\frac {r}{p}}}
Mediana
Moda
⌊
(
r
−
1
)
(
1
−
p
)
/
p
⌋
si
r
>
1
{\displaystyle \lfloor (r-1)\,(1-p)/p\rfloor {\text{ si }}r>1}
0
si
r
≤
1
{\displaystyle 0{\text{ si }}r\leq 1}
Varianza
r
1
−
p
p
2
{\displaystyle r\,{\frac {1-p}{p^{2}}}}
Asimetría
2
−
p
r
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {r\,(1-p)}}}\!}
Curtose
6
r
+
p
2
r
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{r\,(1-p)}}\!}
Entropía
F. xeradora de momentos
(
p
1
−
(
1
−
p
)
e
t
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}\!}
Func. caract.
(
p
1
−
(
1
−
p
)
e
i
t
)
r
{\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)e^{i\,t}}}\right)^{r}\!}
En estatística a distribución binomial negativa é unha distribución de probabilidade discreta que inclúe a distribución de Pascal .
O número de experimentos de Bernoulli de parámetro
θ
{\displaystyle \theta }
ata conseguir o k-ésimo éxito é unha variable aleatoria que ten unha distribución binomial negativa con parámetros k e
θ
{\displaystyle \theta }
A distribución xeométrica é o caso concreto da binomial negativa cando k = 1 .
A súa función de probabilidade é
b
∗
(
x
;
k
,
θ
)
=
(
x
−
1
x
−
k
)
θ
k
(
1
−
θ
)
x
−
k
=
(
x
−
1
k
−
1
)
θ
k
(
1
−
θ
)
x
−
k
{\displaystyle \!\ b^{*}(x;k,\theta )={x-1 \choose x-k}\theta ^{k}(1-\theta )^{x-k}={x-1 \choose k-1}\theta ^{k}(1-\theta )^{x-k}}
para enteiros x maiores o iguais que k , onde
(
x
−
1
k
−
1
)
=
(
x
−
1
x
−
k
)
=
(
x
−
1
)
!
(
k
−
1
)
!
(
x
−
k
)
!
{\displaystyle \!{x-1 \choose k-1}={x-1 \choose x-k}={\frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}}}
A súa media é
μ
=
k
(
1
−
θ
)
θ
{\displaystyle \!\mu ={\frac {k(1-\theta )}{\theta }}}
se se considera unicamente o número de fracasos e
μ
=
k
θ
{\displaystyle \!\mu ={\frac {k}{\theta }}}
se se contan tamén os k -1 éxitos.
A súa varianza é
σ
2
=
k
(
1
−
θ
)
θ
2
{\displaystyle \!\sigma ^{2}={\frac {k(1-\theta )}{\theta ^{2}}}}
en ambos os casos.
Se a probabilidade de que un neno exposto a unha enfermidade contaxiosa a contraia é 0,40, cal é a probabilidade de que o décimo neno exposto sexa o terceiro en contraela? Neste caso, X é o número de nenos expostos á enfermidade e
x
=
10
,
k
=
3
,
θ
=
0
,
40
{\displaystyle \!x=10,k=3,\theta =0,\!40}
b
∗
(
10
;
3
;
0
,
4
)
=
(
10
−
1
3
−
1
)
0
,
4
3
(
1
−
0
,
4
)
10
−
3
=
(
9
2
)
0
,
4
3
(
0
,
6
)
7
=
0
,
0645
{\displaystyle \!b^{*}(10;3;0,\!4)={10-1 \choose 3-1}0,\!4^{3}(1-0,\!4)^{10-3}={9 \choose 2}0,\!4^{3}(0,\,6)^{7}=0,\!0645}
Nun proceso de manufactura sábese que unha media de 1 de cada 10 produtos é defectuoso. Cal é a probabilidade de que o quinto artigo examinado sexa o primeiro en ser defectuoso? Se X conta o número de artigos defectuosos,
p
=
1
/
10
=
0
,
1
;
q
=
1
−
0
,
1
=
0
,
9
;
x
=
5
{\displaystyle p=1/10=0,1;q=1-0,1=0,9;x=5}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
b
∗
(
5
;
1
,
0.1
)
=
(
5
−
1
1
−
1
)
(
0.1
)
1
(
0.9
)
5
−
1
=
6.6
%
{\displaystyle b*(5;1,0.1)={5-1 \choose 1-1}(0.1)^{1}(0.9)^{5-1}=6.6\%}
Véxase tamén
editar
