Abrir o menú principal

Un conxunto conexo é un subconxunto dun espazo topolóxico é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é disconexo.

Formalmente, é un conxunto conexo se e só se: implica

Cómpre notar que se , entón terase que é conexo se e só se implica . Neste caso, chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

ExemplosEditar

 
O espazo A é conexo.
O espazo B non o é.

Conxuntos conexosEditar

  • As esferas   son conexas.
  • Un punto   é conexo.
  • Un nó é un conxunto conexo en  
  • Un toro é un conxunto conexo en  
  • En  , un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
  • O complementario dun punto en   é conexo.

Subconxunto conexo na rectaEditar

Sexa   provisto da topoloxía usual  , ademais   un intervalo de   e   subconxuntos abertos de   tales que   é parte da unión de   e  . Entón  . Neste caso   é un subconxunto conexo da recta real.

  • Un subconxunto   da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto  [1]

Conxuntos non conexosEditar

  • O complementario dun punto en  
  • O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en  
  • Un enlace de   compoñentes (nós),  

Propiedades dos conxuntos conexosEditar

Cúmprese que se   é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos:   é un conxunto conexo se e só se para toda función   continua se cumpre que   é unha función constante, onde se dota a   da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se   é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con   un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón   tamén é conexo, onde   é a topoloxía produto.

Por último, se   non é conexo, é dicir, se existen abertos  , disxuntos non baleiros tales que a súa unión é  , é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos clopen. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir,   será conexo se e só se os únicos clopen son   e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre clopen).

Conexidade por camiñosEditar

Dise que un conxunto   é conexo por camiños ou conexo por arcos se dados   existe un camiño continuo   tal que   e  .

 
Peite do topólogo

A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo,  , onde   e  .   é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

Compoñentes conexasEditar

Dado un espazo topolóxico   chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto   é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:

  1.   é conexo.
  2. Calquera conxunto   que contén propiamente   non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de   forman unha partición de  . Se   é conexo, tense que   é a súa única compoñente conexa.

NotasEditar

  1. Mansfiel: Topology

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar