Teoría de corpos de clases

En matemáticas, a teoría de corpos de clases é unha rama esencial da teoría de números alxébricos que ten por obxecto a clasificación das extensións abelianas e os grupos de Galois conmutativos, dun corpo dado. Máis precisamente, trata a maneira de describir e construír estas extensións en termos de propiedades aritméticas do propio corpo básico.

Descrición xeral

Tradicionalmente comprendía o estudo das extensións abelianas, é dicir, das extensións de Galois cun grupo de Galois que é abeliano, para este caso a teoría desenvolveuse entre 1850 e 1930. No caso das extensións non abelianas, os primeiros resultados importantes forman parte do programa de Langlands.

Gran parte da investigación no caso abeliano céntrase no famoso Jugendtraum de Kronecker, é dicir, o desexo de atopar funcións capaces de xerar a extensión abeliana maximal para cada corpo numérico. Se o campo é ℚ, funcións xeradoras son as funcións ciclotómicas exp(iσ).

Sexa K un corpo numérico. O grupo de Galois da extensión abeliana maximal é un grupo topolóxico compacto abeliano de grao infinito sobre K. Kronecker demostrou que, cando K é o corpo dos números racionais, este grupo é un produto infinito do grupo aditivo dos enteiros p-ádicos tomado sobre todo número primo p, e dun produto infinito de grupos cíclicos finitos. A xeneralización deste teorema foi resultado dun gran proxecto histórico que incluíu as formas cuadráticas e a súa teoría de xénero, as leis de reciprocidade, a teoría de ideais e as extensións ciclotómicas e de Kummer.

A partir da tese de John Tate en 1950, todos os resultados foron reescritos en téminos da cohomoloxía de grupos. Despois houbo un período de aceptación que foi bruscamente interrompido na década de 1960 polas conxecturas de Langlands.

Véxase tamén

Bibliografía

• Georges Gras, Class Field Theory: From Theory to Practice
• Jürgen Neukirch, Algebraic number theory

Ligazóns externas

• Teoría de cuerpos de clases. Arquivado 22 de xuño de 2017 en Wayback Machine. Carlos Ivorra Castelo - Universidade de Valencia.
• Teoría de cuerpos de clases. Tese de licenciatura de Lucio Guerberoff.