Corpo de números alxébricos

En matemáticas, un corpo de números alxébricos (ou simplemente corpo numérico) F é unha extensión de corpos finita (e tamén alxébrica) dos números racionais ℚ. Así pois, F é un corpo que contén ℚ e ten dimensión finita cando se considera como un espazo vectorial sobre ℚ.

O estudo dos corpos de números alxébricos, e, máis xeralmente, das extensións alxébricas dos números racionais, é o tema central da teoría de números alxébricos.

Definición

Cuestións previas

A noción de corpo dos números alxébricos baséase no concepto de corpo. Un exemplo moi común de corpo é o conxunto dos números racionais, comunmente denotados por ℚ, xunto coas súas operacións usuais.

Outra noción necesaria para definir os corpos de números alxébricos é o de espazo vectorial. Na medida necesaria, os espazos vectoriais poden ser considerados como secuencias (ou tuplas)

(x₁, x₂, ...)

coas súas partes constituíntes que son elementos dun corpo fixado, como pode ser o corpo ℚ. Calquera par destas secuencias pode ser sumada mediante a suma das partes constituíntes unha a unha. Ademais, calquera destas secuencias pode ser multiplicada por un elemento c dun corpo fixado. Estas dúas operacións son coñecidas como suma de vectores e multiplicación escalar satisfacendo un número de propiedades que serven para definir os espazos vectoriais abstractamente. Os espazos vectoriais tamén poden ser de «dimensión infinita», ou o que é o mesmo, que as secuencias constituíntes destes espazos vectoriais teñen lonxitude infinita. Con todo, se o espazo vectorial consiste nun grupo de secuencias finitas

(x₁, x₂, ..., x_n),

o espazo vectorial dise que ten dimensión finita n.

Definición

Un corpo de números alxébricos é por definición un grao finito de extensión de corpos do corpo dos números racionais. Este grao de extensión de ℚ chámase simplemente grao.

Exemplos

• O menor e máis básico corpo numérico é o corpo Q dos números racionais. Moitas propiedades dos corpos numéricos xerais, como a factorización única, modélanse con base nas propiedades de Q.
• Os racionais Gaussianos, denotados por Q(i) (lida como "Q adxunto i"), forman o primeiro exemplo non trivial dun corpo numérico. Os seus elementos son expresións da forma

a+bi

en que a e b son ambos números racionais e i é a unidade imaxinaria. Estas expresións poden ser sumadas, subtraídas e multiplicadas de acordo coas regras usuais da aritmética e simplificadas usando a identidade

i² = -1.

Explicitamente,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Os racionais Gaussianos non nulos son invertibles, o que pode ser visto a partir da identidade

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

Séguese que os racionais Gaussianos forman un corpo numérico que é bidimensional como espazo vectorial sobre Q.

• Os números reais, R, e os números complexos, C, son corpos que teñen dimensión infinita como Q-espazos vectoriais, polo tanto, non son corpos numéricos. Iso provén da non numerabilidade de R e C como conxuntos, xa que todo corpo numérico é necesariamente contable.
• O conxunto Q² de pares ordenados de números racionais, coa adición e a multiplicación coordenada a coordenada é unha álxebra conmutativa bidimensional sobre Q. No entanto, non é un corpo, pois posúe divisores de cero:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Véxase tamén

Outros artigos

• Extensión de Kummer

Bibliografía

• Janusz, Gerald J. (1997). Algebraic Number Fields (2nd ed.). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0429-2. 
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004). Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Springer Monographs in Mathematics (3 ed.). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-21902-6. 2078267. 
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic number theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 322. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. 1697859. 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000). Cohomology of Number Fields. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 323. Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66671-4. Modelo:MathSciNet. 
• Weil, André, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995