Momento de inercia

distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación

En Mecánica, o momento de inercia mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²).

  • Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo:
  • Momento de inercia polar (respecto dun punto):
  • Momento de inercia planario (respecto dun plano):

Cálculo

editar

Por definición, o momento de inercia   dunha partícula de masa   e que xira en torno dun eixo, a unha distancia   del, é

 

Se un corpo é constituído de   masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental:

 

onde   é a masa de cada partícula, e   é a súa distancia ao eixo de rotación.

Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume   do corpo o produto da masa   en cada punto polo cadrado da distancia   até o eixo de rotación:

 

Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa):

  • Para un cilindro macizo de masa   e raio da base  , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
     
  • Para unha esfera maciza de masa   e raio  , en torno de seu centro:
     
  • Para un anel cilíndrico de masa   e raio  , en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
     

Teoremas fundamentais

editar

O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto):

 

O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo:

 
 
 

A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos:

 

Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos

editar

O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos:

 


onde: Ieixo é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa; I(CM)eixe é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; M é a masa total; e h a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.

A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas C   inmediata:

 
 


onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.

O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar