Matriz adxunta

Na terminoloxía matemática moderna, a matriz de adxuntos denomínase matriz conxugada transposta.

Dada unha matriz cadrada A, a súa matriz adxunta ou matriz cofactor cof(A) é o resultado de substituír cada termo a _ij de A polo cofactor a_ij de A. O termo matriz adxunta adj(A) adoita crear confusión, xa que en moitos tratados clásicos de álxebra linear correspóndese coa matriz cofactor transposta, porén, noutros textos, correspóndese coa matriz cofactor, xa que chaman do mesmo xeito adxunto ao cofactor. A maiores, o símbolo adj( ) (do inglés adjugate) tamén se usa indistintamente con cof( ) para o cálculo nos elementos dunha matriz, provocando así unha maior confusión cada vez.

O principal interese da matriz adxunta é que permite calcular a inversa dunha matriz, xa que se cumpre a relación:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\;{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$

onde adj(A) corresponde á matriz cofactor transposta, é dicir,

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {cof} (\mathbf {A} )^{T}=\mathbf {C} ^{T}\,$.

No entanto, para matrices de grandes dimensións, este tipo de cálculo ten máis custo, en termos de operacións, que outros métodos como o método de eliminación gaussiana.

Definición e fórmulas de cálculo

Dada unha matriz $\scriptstyle \mathbf {A}$ a súa matriz adxunta é a única matriz $\scriptstyle \mathbf {B}$ tal que:

$\mathbf {A} \mathbf {B} ^{T}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I}$

Dados os compoñentes explícitos da matriz: $(a_{ij})=\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ para cada i e j defínese a matriz ${\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)$ como a matriz de orde $\scriptstyle (n-1)$ obtida de $\mathbf {A}$ eliminando a fila i e a columna j. E defínese a cantidade:

$d_{ij}=(-1)^{i+j}\det {\tilde {\mathbf {A} }}(i,j)$

E resulta que estas son precisamente as compoñentes da matriz de adxuntos (ou cofactores), é dicir, ${\mbox{cof}}(\mathbf {A} )=(d_{ij})\,$

Matrices 2 x 2

Dada unha matriz 2 x 2:

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$

A súa matriz adxunta vén dada por:

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{21}\\-A_{12}&A_{11}\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}A_{22}&-A_{12}\\-A_{21}&A_{11}\end{pmatrix}}$

onde C é a matriz cofactor.

Matrices 3 x 3

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}$

A súa matriz de cofactores vén dada por:

${\mbox{cof}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32}&A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}&A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}\\A_{32}A_{13}-A_{33}A_{12}&A_{33}A_{11}-A_{31}A_{13}&A_{31}A_{12}-A_{32}A_{11}\\A_{12}A_{23}-A_{13}A_{22}&A_{13}A_{21}-A_{11}A_{23}&A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}\end{pmatrix}}$

e polo tanto a transposición da matriz cofactor é a matriz adxunta:

${\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A_{22}&A_{23}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{23}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{21}&A_{22}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{32}&A_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{31}&A_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{31}&A_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A_{12}&A_{13}\\A_{22}&A_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{13}\\A_{21}&A_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}^{T}$

Exemplo

Un exemplo sería o seguinte:

$\operatorname {adj} \left({\begin{array}{rrr}2&1&0\\1&-1&1\\0&2&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rrr}-1&1&1\\1&-2&-2\\2&-4&-3\end{array}}\right)$

Propiedades

Dada unha matriz $\mathbf {A} =(a_{ij})\in M_{n\times n}$ definindo $\mathbf {B} =(b_{ij})={\mbox{adj}}(A)$ Pódese demostrar que os $b_{ij}\,$ pódense escribir como a suma de monomios de grao n nas compoñentes $a_{ij}\,$. Isto fai que o cálculo da matriz adxunta mediante a aplicación de fórmulas directas sexa complicado a medida que n aumenta, resultando computacionalmente moito custoso.

Se consideramos a operación de atopar a matriz adxunta como unha función: ${\mbox{adj}}:M_{n\times n}\to _{n\times n}$ resulta que esa función é continua. Isto pódese ver pola continuidade da función determinante. A maiores, ten outras propiedades interesantes:

• ${\mbox{adj}}(\mathbf {A} ^{T})={\mbox{adj}}(\mathbf {A} )^{T}$
• ${\mbox{adj}}(\mathbf {A} \mathbf {B} )={\mbox{adj}}(\mathbf {B} ){\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$
• ${\mbox{adj}}(\mathbf {I} )=\mathbf {I}$
• $\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{T})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} ^{T}=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I}$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ .
• ${\mbox{adj}}(\lambda \mathbf {A} )=\lambda ^{n-1}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ .
• ${\mbox{adj}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A}$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ .
• $\det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}(\mathbf {A} \ {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ))/n$ para $\mathbf {A} \in M_{n\times n}$ .
• $\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1}\,$ .

Se p (t) = det(A − t I) é o polinomio característico de A e definimos o polinomio q(t) = (p(0) − p (t))/t, entón:

$\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1})$

Onde $p_{j}\,$ son os coeficientes de p(t):

$p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots p_{n}t^{n}.$

A función adxunta tamén aparece na fórmula para a derivada do determinante:

$\det(\mathbf {A+H} )-\det(\mathbf {A} )={\mbox{tr}}({\mbox{adj}}(\mathbf {A} )\ \mathbf {H} )+o(\|\mathbf {H} \|)$

Véxase tamén

Bibliografía

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
• Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

Outros artigos

• Matriz invertíbel.

Ligazóns externas

• Matrix Reference Manual
• Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
• "Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha.