Funcións chan e teito

funcións para obter partes enteiras dun número

En matemáticas, a función chan (ou parte enteira cando son positivos) é a función que toma como entrada un número real x, e dá como saída o maior enteiro menor ou igual a x, denotado x. Do mesmo xeito, a función teito mapea x co número enteiro máis pequeno maior ou igual que x, denotado x. [1]

Funcións chan e teito
Función chan
Función teito

Por exemplo, para o chan: ⌊2.4⌋ = 2, ⌊−2.4⌋ = −3, e para o teito: ⌈4.4⌉ = 5 e ⌈−4.4⌉ = −4.

Exemplos
x Piso x Teito x Parte fraccional {x}
2 2 2 0
2.0001 2 3 0,0001
2.4 2 3 0,4
2.9 2 3 0,9
2.999 2 3 0,999
− 2.7 − 3 − 2 0,3
− 2 − 2 − 2 0

Notación

editar

A parte enteira ou parte enteira dun número (partie entière no orixinal) foi definido por primeira vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre na súa proba da fórmula de Legendre.

A parte fracciónal denótase por {x} para x real e definida pola fórmula

{x} = x − ⌊x[2]

Para todo x,

0 ≤ {x} < 1.

No sistema LaTeX, estes símbolos pódense especificar coas palabras \lceil, \rceil, \lfloor e \rfloor.

Definición e propiedades

editar

Dados os números reais x e y, os enteiros m e n e o conxunto de números enteiros  , chan e teito poden ser definidos polas ecuacións

 
 

Equivalencias

editar

Estas fórmulas pódense usar para simplificar expresións que inclúen chan e teito. [3]

 

Para enteiros n temos:

 

Para x e y reais temos as seguintes desigualdades:

 

Monótonas

editar

Tanto as funcións chan como teito son funcións monótonamente non decrecentes:

 

Relacións entre as funcións

editar
  con igualdade se e só se x é un número enteiro, é dicir
 

Ao negar o argumento muda o chan e o teito e mudao signo:

 

e:

 
 

A negación do argumento complementa a parte fraccional:

 

As funcións chan, teito e parte fraccional son idempotentes:

 

O resultado das funcións aniñadas chan ou teito é a función máis interna:

 

constante de Euler gamma ( )

editar

Existen fórmulas para a constante de Euler   = 0,57721 56649... que inclúen o chan e o teito, por exemplo [4]

 
 

Fórmulas para números primos

editar

A función chan aparece en varias fórmulas que caracterizan os números primos. Por exemplo, xa que   é igual a 1 se m divide n, e a 0 en caso contrario, dedúcese que un enteiro positivo n é primo se e só se [5]

 

Problemas resolvidos

editar

Ramanujan presentou estes problemas ao Journal of the Indian Mathematical Society. [6]

Se n é un número enteiro positivo, proba que

  1.  
  2.  
  3.  

Probáronse tamén algunhas xeneralizacións das fórmulas anteriores. [7]

Problema sen resolver

editar

O estudo do problema de Waring levou a un problema sen resolver:

Existe algún número enteiro positivo k ≥ 6 tal que [8]

 

Mahler demostrou que só pode haber un número finito deses k. De momento non se coñece ningún.[9]

  1. Graham, Knuth, & Patashnik, Ch. 3.1
  2. Graham, Knuth, & Patashnik, p. 70.
  3. Graham, Knuth, & Patashink, Ch. 3
  4. Estas fórmulas son do artigo da Wikipedia Euler's constant.
  5. Crandall & Pomerance, Ex. 1.3, p. 46..
  6. Ramanujan, Question 723, Papers p. 332
  7. Somu, Sai Teja; Kukla, Andrzej (2022). On some generalizations to floor function identities of Ramanujan (PDF). Integers 22. arXiv:2109.03680. 
  8. Hardy & Wright, p. 337
  9. Mahler, Kurt (1957). On the fractional parts of the powers of a rational number II. Mathematika 4. pp. 122–124. doi:10.1112/S0025579300001170. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar