Tensor: Diferenzas entre revisións

Débese facer fincapé no feito de que moitas estruturas matemáticas xeralmente denotadas como 'tensores' son, en realidade, 'campos tensoriais', cantidades tensoriais que varían dun punto a outro. Porén, para entender mellor os campos tensoriais, débese entender primeiro o que son os tensores.

 

Os tensores son de importancia en [[física]] (onde aparece en diversos campos como poden ser o [[electromagnetismo]], o estudo do [[sólido ríxido]] ou a [[relatividade xeral|teoría da relatividade xeral]]) e [[enxeñaría]] (onde aparece o [[tensor de tensións]] ou o tensor de elasticidades).

 

De xeito máis específico, un tensor de segunda orde que, por exemplo, cuantifique as tensións dun obxecto sólido tridimensional ten unhas compoñentes que se poden expresar como unha [[Matriz (matemáticas)|matriz]] 3x3. As tres caras cartesiás dun elemento de volume cúbico infinitesimal están sometidas a unha certa forza. Como as compoñentes do vector forza tamén son 3, entón 3x3=9 son as compoñentes precisas para describiren as tensións que sofre este elemento de volume.

 

A palabra ''tensor'' introduciuna en [[1846]] [[William Rowan Hamilton]]<ref>[[William Rowan Hamilton]], ''On some Extensions of Quaternions''[http://www.emis.de/classics/Hamilton/ExtQuat.pdf]</ref> para describir a [[norma (matemáticas)|operación norma]] nunha clase determinada de sistema alxébrico ([[álxebra de Clifford]]). A palabra empregouse no seu sentido actual por primeira vez no [[1899]] por [[Woldemar Voigt]].

 

A notación foi desenvolvida polo [[1890]] por [[Gregorio Ricci-Curbastro]] no seu traballo ''cálculo diferencial absoluto'', e fíxose accesible a moitos matemáticos grazas á publicación do clásico texto italiano do mesmo título escrito por [[Tullio Levi-Civita]] no [[1900]]. No século XX a materia comezouse a coñecer como ''análise tensorial'' e tomou grande importancia coa introdución da teoría da [[relatividade xeral]] de [[Albert Einstein|Einstein]] polo [[1915]]. Na relatividade xeral emprégase a linguaxe de tensores para o desenvolvemento da teoría, e dise que o mesmo Einstein aprendeu a teoría, con gran dificultade, de Levi-Civita.

 

Hai dous xeitos de introducir a definición do que é un tensor:

 

Os físicos e enxeñeiros foron os primeiros en decatárense de que vectores e tensores teñen un gran significado físico por si mesmos, alén do sistema coordenado (xeralmente arbitrariamente escollido) no que se expresen esas cantidades. Do mesmo xeito, os matemáticos decatáronse que certas relacións tensoriais son máis doadas de obter nun sistema de coordenadas concreto.

 

Non todas as relacións da natureza son lineais, pero a meirande parte son [[diferenciable]]s e, polo tanto, pódense aproximar como sumas de [[función]]s multilineais. Deste xeito, o máis das magnitudes físicas pódense expresar como tensores.

 

Outro exemplo dun tensor é o [[tensor de curvatura de Riemann]] que aparece na teoría da [[relatividade xeral]], que é un tensor de rango 4, tendo cada índice 4 dimensións (tres espaciais e unha temporal). Esta magnitude ten 256 compoñentes, aínda que por razóns das simetrías físicas só 20 delas son independentes das demais, simplificando así o traballo con esta magnitude.

 

Hai distintos enfoques '''''equivalentes''''' para estudar os tensores, aínda que a equivalencia entre eles non é evidente se non se traballa máis a fondo con eles.

 

:O enfoque clásico ve os tensores como matrices multidimensionais que xeneralizan tanto os escalares coma os vectores ou as matrices. As compoñentes do tensor serían así os valores de cada cela desa matriz xeneralizada. Esta idea pódese xeneralizar a campos tensoriais cando os elementos do tensor son funcións ou diferenciais no canto de números.

onde se empregou o [[convenio de Einstein]].

 

 

:O enfoque moderno (libre de compoñentes) ve os tensores como obxectos abstractos representando un tipo definido de concepto multilinear. As súas propiedades pódense derivar da súa definición como funcións lineares ou incluso de xeito máis xeral e as regras para manipular tensores xorden como unha extensión da [[álxebra linear]] á [[álxebra multilinear]]. Este tratamento tentou substituír o anterior para un estudo máis avanzado, o que carrexa maiores complicacións cando se tentan dar interpretacións xeométricas.

* O '''enfoque intermedio para os tensores''' é unha mestura de ambos os dous enfoques explicados anteriormente, creando unha ponte entre eles e amosando a equivalencia.

 

Tamén se pode ter unha "densidade" para un campo tensorial. Un tensor con densidade ''r'' transfórmase coma un tensor ordinario baixo cambios de coordenadas agás polo feito de que tamén hai que facer o produto polo [[jacobiano]] á ''r''-ésima potencia.

 

Para achegármonos ao concepto de covarianza e contravarianza primeiro temos que dar algunhas definicións.

 

No espazo euclídeo o tensor métrico <math>g_{ij}</math> é a [[matriz identidade]]. Polo tanto, verifícase trivialmente que <math>g_{ij} = g_{ji}</math> e, polo tanto, tensores covariantes e contravariantes empregan a mesma matriz de transformación de modo que non é preciso facer distinción algunha, pero isto non ocorre en xeral, por exemplo, no espazo minkowskiano da [[relatividade especial]], o tensor métrico é <math>g_{\alpha\beta}=diag(-1,1,1,1)</math>.

 

Para maior información sobre os distintos enfoques para o tratamento de tensores pódense consultar as entradas relacionadas na wikipedia en inglés:

 

 

 

 

Se o que se queren son ligazóns externas a libros e páxinas da internet sobre o tema, tamén se poden seguir as referencias dadas no [[:en:Tensor#External links|artigo inglés]].

 

 

[[Categoría:Física]]