Curva de Lorenz

A curva de Lorenz é unha representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar a distribución relativa dunha variable nun dominio determinado. O dominio pode ser o conxunto de fogares ou persoas dunha rexión ou país, por exemplo. A variable cuxa distribución se estuda pode ser o ingreso dos fogares ou as persoas. Utilizando como exemplo estas variables, a curva trazaríase considerando no eixo horizontal a porcentaxe acumulada de persoas ou fogares do dominio en cuestión e no eixo vertical a porcentaxe acumulada do ingreso. A súa autoría é de Max O. Lorenz en 1905.

Curva de Lorenz.

Cada punto da curva lese como porcentaxe acumulativa dos fogares ou as persoas. A curva parte da orixe (0,0) e termina no punto (100,100). Se o ingreso estivese distribuído de maneira perfectamente equitativa, a curva coincidiría coa liña de 45 graos que pasa pola orixe (por exemplo o 30% dos fogares ou da poboación percibe o 30% do ingreso). Se existise desigualdade perfecta, ou sexa, se un fogar ou persoa posuíse todo o ingreso, a curva coincidiría co eixo horizontal até o punto (100,0) onde saltaría ao punto (100,100). En xeral a curva atópase nunha situación intermedia entre estes dous extremos.

Curva de Lorenz e desigualdadeEditar

Se unha curva de Lorenz se atopa sempre por encima doutra (por tanto, está máis preto da liña de 45 graos que a outra), entón pódese dicir, sen ambigüidade, que a primeira exhibe menor desigualdade que a segunda. Esta comparación gráfica entre distribucións de distintos dominios xeográficos ou temporais é o principal emprego das curvas de Lorenz. O indicador gráfico de benestar máis usado é a Curva de Lorenz Xeneralizada (CLX), que é unha derivación da curva de Lorenz habitual. A CLX só se diferencia da de Lorenz en que na escala vertical non se representan as cantidades relativas acumuladas senón as cantidades acumuladas (non relativas) divididas polo número N de elementos da poboación. A lóxica pretendida é representar que cantidade absoluta corresponde a cada porcentaxe de individuos. Para clarificar este aspecto, supóñase que a curva de Lorenz normal dunha poboación dinos que o 50% dos menos ricos posúen o 25% da riqueza total. Pódese comprender que é moi diferente a situación de benestar deste 50% da poboación segundo se a riqueza total é moi pequena ou moi grande. É obvio que é peor posuír o 50% dunha cantidade pequena que posuír o 25% dunha cantidade moito maior. Entón dividir as cantidades acumuladas polo total de elementos N é necesario para poder comparar riquezas entre poboacións distintas que teñan un número diferente de elementos: non é o mesmo unha riqueza total de 1.000.000€ nun conxunto de 10 persoas que esa mesma riqueza total nun conxunto formado por 1.000 persoas.

Ecuación da curva de LorenzEditar

Se se coñece a distribución da renda como densidade de probabilidade   para cada valor de renda, a curva de Lorenz pode calcularse analiticamente en función desta. A proporción de persoas ou unidades familiares cunha renda inferior a un nivel de renda r vén dada por:

(1)  

Mentres que a proporción de renda acumulada polas persoas con rendas iguais ou inferiores a r vén dada por:

(2)  

Onde   é a renda media. As ecuacións (1) e (2) constitúen xuntas as ecuacións paramétricas da curva en función do parámetro r.

PropiedadesEditar

A curva de Lorenz ten pendente positiva en todos os seus puntos como se deduce da seguinte relación:

(3)  

No punto inicial   a pendente será nula, aínda que no caso   o límite anterior segue sendo válido, pero no resto de puntos será estritamente positiva. Ademais a curva de Lorenz é convexa xa que a súa derivada segunda sempre é positiva:

(4)  

Exemplo 1Editar

Nesta sección calculamos a curva de Lorenz e o índice de Gini para unha distribución de renda exponencial. Aínda que esta non parece unha distribución adecuada para a renda nacional de ningún país, a sinxeleza das expresións obtidas permite entender de modo sinxelo a aplicación das ecuacións (1) a (4). Para un país cunha renda nacional media   cunha distribución exponencial a densidade de probabilidade da distribución será:

 

Esta expresión permite calcular a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas facilmente:

 

Despexando   da primeira ecuación e substituíndo o resultado na segunda obtense a curva de Lorenz explicitamente:

 

O índice de Gini pódese calcular simplemente como:

 

Este é o valor exacto. Cando para calcular este valor en lugar dunha distribución continua úsase un cálculo aproximado por decís en cambio resulta só  .

Exemplo 2Editar

 
Índice de Gini para diferentes curvas de Lorenz asociadas a distribucións gamma .  O valor de n corresponde a cada distribución, mentres que o factor   está relacionado coa renda media e non inflúe no índice de Gini.

Unha aproximación máis verosímil para a renda nacional é usar en lugar dunha simple distribución exponencial, unha distribución gamma:

 

Onde o parámetro   está relacionado coa renda media mediante  . Despois dunha certa cantidade de álxebra trivial pero dificultosa pode atoparse que a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas veñen dadas por:

 

Onde:

 

Neste caso non é posible despexar explicitamente   da primeira ecuación. Aínda que pode calcularse o índice de Gini mediante a expresión (para   enteiro):

 

Neste caso o coeficiente de Gini tampouco depende da renda media. Dado que o índice de Gini da maior parte de países está entre 0,50 e 0,25 a distribución gamma anterior pode usarse de maneira aproximada para reproducir a distribución real da renda.

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar