Curva de Lorenz
A curva de Lorenz é unha representación gráfica utilizada frecuentemente para plasmar a distribución relativa dunha variable nun dominio determinado. O dominio pode ser o conxunto de fogares ou persoas dunha rexión ou país, por exemplo. A variable cuxa distribución se estuda pode ser o ingreso dos fogares ou as persoas. Utilizando como exemplo estas variables, a curva trazaríase considerando no eixo horizontal a porcentaxe acumulada de persoas ou fogares do dominio en cuestión e no eixo vertical a porcentaxe acumulada do ingreso. A súa autoría é de Max O. Lorenz en 1905.
Cada punto da curva lese como porcentaxe acumulativa dos fogares ou as persoas. A curva parte da orixe (0,0) e termina no punto (100,100). Se o ingreso estivese distribuído de maneira perfectamente equitativa, a curva coincidiría coa liña de 45 graos que pasa pola orixe (por exemplo o 30% dos fogares ou da poboación percibe o 30% do ingreso). Se existise desigualdade perfecta, ou sexa, se un fogar ou persoa posuíse todo o ingreso, a curva coincidiría co eixo horizontal até o punto (100,0) onde saltaría ao punto (100,100). En xeral a curva atópase nunha situación intermedia entre estes dous extremos.
Curva de Lorenz e desigualdade
editarSe unha curva de Lorenz se atopa sempre por encima doutra (por tanto, está máis preto da liña de 45 graos que a outra), entón pódese dicir, sen ambigüidade, que a primeira exhibe menor desigualdade que a segunda. Esta comparación gráfica entre distribucións de distintos dominios xeográficos ou temporais é o principal emprego das curvas de Lorenz. O indicador gráfico de benestar máis usado é a Curva de Lorenz Xeneralizada (CLX), que é unha derivación da curva de Lorenz habitual. A CLX só se diferencia da de Lorenz en que na escala vertical non se representan as cantidades relativas acumuladas senón as cantidades acumuladas (non relativas) divididas polo número N de elementos da poboación. A lóxica pretendida é representar que cantidade absoluta corresponde a cada porcentaxe de individuos. Para clarificar este aspecto, supóñase que a curva de Lorenz normal dunha poboación dinos que o 50% dos menos ricos posúen o 25% da riqueza total. Pódese comprender que é moi diferente a situación de benestar deste 50% da poboación segundo se a riqueza total é moi pequena ou moi grande. É obvio que é peor posuír o 50% dunha cantidade pequena que posuír o 25% dunha cantidade moito maior. Entón dividir as cantidades acumuladas polo total de elementos N é necesario para poder comparar riquezas entre poboacións distintas que teñan un número diferente de elementos: non é o mesmo unha riqueza total de 1.000.000€ nun conxunto de 10 persoas que esa mesma riqueza total nun conxunto formado por 1.000 persoas.
Ecuación da curva de Lorenz
editarSe se coñece a distribución da renda como densidade de probabilidade para cada valor de renda, a curva de Lorenz pode calcularse analiticamente en función desta. A proporción de persoas ou unidades familiares cunha renda inferior a un nivel de renda r vén dada por:
(1)
Mentres que a proporción de renda acumulada polas persoas con rendas iguais ou inferiores a r vén dada por:
(2)
Onde é a renda media. As ecuacións (1) e (2) constitúen xuntas as ecuacións paramétricas da curva en función do parámetro r.
Propiedades
editarA curva de Lorenz ten pendente positiva en todos os seus puntos como se deduce da seguinte relación:
(3)
No punto inicial a pendente será nula, aínda que no caso o límite anterior segue sendo válido, pero no resto de puntos será estritamente positiva. Ademais a curva de Lorenz é convexa xa que a súa derivada segunda sempre é positiva:
(4)
Exemplo 1
editarNesta sección calculamos a curva de Lorenz e o índice de Gini para unha distribución de renda exponencial. Aínda que esta non parece unha distribución adecuada para a renda nacional de ningún país, a sinxeleza das expresións obtidas permite entender de modo sinxelo a aplicación das ecuacións (1) a (4). Para un país cunha renda nacional media cunha distribución exponencial a densidade de probabilidade da distribución será:
Esta expresión permite calcular a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas facilmente:
Despexando da primeira ecuación e substituíndo o resultado na segunda obtense a curva de Lorenz explicitamente:
O índice de Gini pódese calcular simplemente como:
Este é o valor exacto. Cando para calcular este valor en lugar dunha distribución continua úsase un cálculo aproximado por decís en cambio resulta só .
Exemplo 2
editarUnha aproximación máis verosímil para a renda nacional é usar en lugar dunha simple distribución exponencial, unha distribución gamma:
Onde o parámetro está relacionado coa renda media mediante . Despois dunha certa cantidade de álxebra trivial pero dificultosa pode atoparse que a proporción de persoas por baixo dunha certa renda e a renda acumulada dese grupo de persoas veñen dadas por:
Onde:
Neste caso non é posible despexar explicitamente da primeira ecuación. Aínda que pode calcularse o índice de Gini mediante a expresión (para enteiro):
Neste caso o coeficiente de Gini tampouco depende da renda media. Dado que o índice de Gini da maior parte de países está entre 0,50 e 0,25 a distribución gamma anterior pode usarse de maneira aproximada para reproducir a distribución real da renda.
Véxase tamén
editarOutros artigos
editarLigazóns externas
editar- La distribución de la renta, la curva de Lorenz y el índice de Gini
- Índice de Gini por países
- (en inglés) A complete handhout[Ligazón morta] about the Lorenz curve including various applications, including an Excel spreadsheet graphing Lorenz curves and calculating Gini coefficients as well as coefficients of variation.