Constante de Catalan
En matemáticas, a constante de Catalan G, tamén denominada coa letra K, defínese por
onde β é a función beta de Dirichlet. O seu valor numérico[1] é aproximadamente (secuencia A006752 na OEIS)
- G = 0.915965594177219015054603514932384110774…
É irracional a constante de Catalan? É transcendental?
Non está demostrado que G é irracional, e moito menos transcendental.[2] De G díxose "sen dúbida a constante máis básica cuxa irracionalidade e transcendencia (aínda que se sospeita fortemente) seguen sen probarse".[2] A constante de Catalan recibiu o nome de Eugène Charles Catalan, quen atopou series de rápida converxencia para o seu cálculo e publicou unha memoria sobre ela en 1865.
Usos
editarEn combinatoria e mecánica estatística, xorde en relación coa contaxe de mosaicos de dominó, árbore de extensión, e ciclos hamiltonianos de grafos de retícula.
En teoría de números, a constante de Catalan aparece nunha fórmula conxecturada para o número asintótico de primos da forma segundo a conxectura F de Hardy e Littlewood. Porén, é un problema sen resolver (un dos problemas de Landau) se hai incluso infinitos números primos desta forma.
Identidades en forma de integral
editarA constante de Catalan permite resolver moitas integrais con logaritmos. A maiores móstrase unha lista de integrais con valor : Se K(k) é a integral elíptica completa do primeiro tipo, en función do módulo elíptico k, daquela Se E(k) é a integral elíptica completa do segundo tipo, en función do módulo elíptico k, daquela Coa función gamma Γ(x + 1) = x! A integral é unha función especial coñecida, chamada integral tanxente inversa, e foi estudada amplamente por Srinivasa Ramanujan .
Relación con outras funcións especiais
editarG aparece en valores da segunda función poligamma, tamén chamada función trigamma, con argumentos con fraccións: A constante de Catalan ocorre con frecuencia en relación coa función de Clausen, a integral tanxente inversa, a integral do seno inverso, a función G de Barnes, así como as integrais e series sumables en función das funcións mencionadas anteriormente.
Se se define o trascendente de Lerch Φ(z,s,α) (relacionado coa función zeta de Lerch) por daquela
Series de converxencia rápida
editarAs dúas fórmulas seguintes implican series de converxencia rápida e, polo tanto, son apropiadas para o cálculo numérico: e Os fundamentos teóricos destas series son dados por Broadhurst[3], para a primeira fórmula, e Ramanujan, para a segunda fórmula[4]. Os algoritmos para a avaliación rápida da constante de Catalan foron construídos por E. Karatsuba.[5][6] Usando estas series, calcular a constante de Catalan é case tan rápido como calcular a constante de Apery .[7]
Fracción continua
editarG pode expresarse do seguinte xeito [8]
- A fracción continua simple vén dada por [9]
- Esta fracción continua tería infinitos termos se e só se é irracional, que aínda está sen resolver.
Notas
editar- ↑ Papanikolaou, Thomas (March 1997). Catalan's Constant to 1,500,000 Places – vía Gutenberg.org.
- ↑ 2,0 2,1 Bailey, David H.; Borwein, Jonathan M.; Mattingly, Andrew; Wightwick, Glenn (2013). The computation of previously inaccessible digits of pi^2 and Catalan's constant. Notices of the American Mathematical Society 60. pp. 844–854. MR 3086394. doi:10.1090/noti1015.
- ↑ Broadhurst, D. J. (1998). Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5). arXiv:math.CA/9803067.
- ↑ Berndt, B. C. (1985). Ramanujan's Notebook, Part I. Springer Verlag. p. 289. ISBN 978-1-4612-1088-7.
- ↑ Karatsuba, E. A. (1991). Fast evaluation of transcendental functions. Probl. Inf. Transm. 27. pp. 339–360. MR 1156939. Zbl 0754.65021.
- ↑ Karatsuba, E. A. (2001). "Fast computation of some special integrals of mathematical physics". En Krämer, W.; von Gudenberg, J. W. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods. pp. 29–41. doi:10.1007/978-1-4757-6484-0_3.
- ↑ Alexander Yee (14 May 2019). "Formulas and Algorithms". Consultado o 5 December 2021.
- ↑ Bowman, D.; Mc Laughlin, J. (2002). Polynomial continued fractions (PDF). Acta Arithmetica 103. pp. 329–342. Bibcode:2002AcAri.103..329B. arXiv:1812.08251. doi:10.4064/aa103-4-3. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2020-04-13.
- ↑ "A014538 - OEIS". oeis.org. Consultado o 2022-10-27.
Véxase tamén
editarWikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Constante de Catalan |
Bibliografía
editar- Adamchik, Victor (2002). A certain series associated with Catalan's constant. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen 21. pp. 1–10. MR 1929434. doi:10.4171/ZAA/1110.
- Fee, Gregory J. (1990). "Computation of Catalan's Constant Using Ramanujan's Formula". En Watanabe, Shunro; Nagata, Morio. Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '90, Tokyo, Japan, August 20-24, 1990. ACM. pp. 157–160. ISBN 0201548925. doi:10.1145/96877.96917.
- Bradley, David M. (1999). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. MR 1703281. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723.
- Bradley, David M. (2007). A class of series acceleration formulae for Catalan's constant. The Ramanujan Journal 3. pp. 159–173. Bibcode:2007arXiv0706.0356B. arXiv:0706.0356. doi:10.1023/A:1006945407723.
Outros artigos
editarLigazóns externas
editar- Plouffe, Simon (1993). "A few identities (III) with Catalan". Arquivado dende o orixinal o 2019-06-26. Consultado o 29 July 2005. (Dá máis de 100 identidades diferentes).
- Weisstein, Eric W. "Catalan's Constant". MathWorld.
- "Catalan constant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].