Triángulo de Reuleaux

O triángulo Reuleaux é o exemplo máis sinxelo dos chamados polígonos de Reuleaux, denominados así polo científico e enxeñeiro que os desenvolveu, Franz Reuleaux. Estes polígonos teñen a particularidade de ser curvas de largura constante, é dicir, que a distancia entre dúas rectas tanxentes paralelas opostas é a mesma, independentemente da dirección desas rectas.

O triángulo de Reuleaux, en calquera orientación, sempre é tanxente a un cadrado.

A área do triángulo de Reuleaux é ${1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})a^{2}=0,70477...\ a^{2}$, onde a é a largura constante. A área dun círculo de igual diámetro é ${\pi \over 4}a^{2}=0,78539...\ a^{2}$, que é maior. Máis aínda, o teorema de Blaschke-Lebesgue establece que o triángulo de Reuleaux ten menor superficie que calquera outra figura de igual largura constante.

O seu perímetro é $\pi a$.

O triángulo de Reuleaux pode xeneralizarse a outros polígonos regulares cun número impar de lados, como pode ser o caso das moedas británicas de 20 peniques (baseadas nun heptágono).

O triángulo de Reuleaux é unha curva de largura constante baseada nun triángulo equilátero. A distancia entre calquera punto dunha das curvas e o vértice oposto é a mesma.

Trazado do triángulo de Reuleaux

Partindo dun triángulo equilátero de lado a delinéase facendo centro nun dos vértices do triángulo e con raio a, un arco de circunferencias que una os dous vértices restantes. Repetíndose a operación para cada vértice obtense o triángulo de Reuleaux.

Cada un dos ángulos dun triángulo equilátero é de ${\pi \over 3}$ radiáns. Cada un dos tres arcos é de lonxitude ${\pi \over 3}a$. Polo tanto o perímetro do triángulo de Reuleaux é $\pi a$.

Outros usos

Broca de Harry Watt, baseada no triángulo de Reuleaux. A broca deixa só unha pequena área do cadrado sen cubrir, que supón só o 1,33 % da área do cadrado.

• Debido a que todos os seus diámetros teñen a mesma lonxitude, o triángulo de Reuleaux, xunto cos demais polígonos regulares de Reuleaux, é a resposta á pregunta "Ademais dun círculo, que outra forma pode ter unha tapa dun sumidoiro para que non caia a través do burato?"
• En 1914 o enxeñeiro británico Harry James Watt patentou (US-Patent 1241175 e seguintes) unha broca con forma de triángulo de Reuleaux.

Roletes con sección circular e de triángulo de Reuleaux. Deutsche Technikmuseum, Berlín.

• Un triángulo de Reuleaux pode rodar facilmente, pero non funciona ben como roda debido a que non ten un centro fixo de rotación.
• A existencia dos polígonos de Reuleaux demostra que unha figura que ten largura constante non implica que sexa un círculo.
• Algúns lapis se fabrican con este perfil, en lugar dos tradicionais de sección redonda ou hexagonal. Polo xeral anúncianse como máis cómodos e cun agarre axeitado, ademais de ser menos probable que roden fóra das mesas.
• O rotor dun Motor Wankel pode ser confundido cun triángulo de Reuleaux. Aínda que se parece moito no seu aspecto, o rotor Wankel ten entre os vértices unha curva algo máis plana cá do triángulo de Reuleux e por iso non ten largura constante.

Versión en tres dimensións

A intersección de esferas de raio s centradas nos vértices de tetraedros regulares con lado tamén s denomínase tetraedro de Reuleaux, pero neste caso non é unha superficie de largura constante. Pode, non obstante, realizarse dentro dunha superficie de largura constante, coñecida como o tetraedro de Meissner, substituíndo os seus límites en forma de arco por "parches" de superficie curvada. Alternativamente, a superficie dun triángulo de Reuleaux en revolución sobre un dos seus eixes simétricos forma unha superficie de largura constante.

Véxase tamén

Outros artigos

• Tetraedro de Reuleaux.
• Superelipse

Ligazóns externas

• Shapes of constant width (cut-the-knot)
• Mould, Steve. Shapes and Solids of Constant Width. Brady Haran. Arquivado dende o orixinal o 19 de marzo de 2016. Consultado o 02 de xullo de 2016. 
• Reuleaux Triangle