Teorema de Sard

En matemáticas, o teorema de Sard, tamén coñecido como lema de Sard ou teorema de Morse-Sard, é un resultado da análise matemática que afirma que o conxunto de valores críticos (é dicir, a imaxe do conxunto de puntos críticos) dunha función suave f dun espazo ou variedade euclidiana a outro é un conxunto nulo, é dicir, ten unha medida de Lebesgue 0. Isto fai que o conxunto de valores críticos sexa "pequeno" no sentido dunha propiedade xenérica. O teorema recibe o nome de Anthony Morse e Arthur Sard.

Enunciado

Sexa,

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$

$C^{k}$, (é dicir, $k$ veces continuamente diferenciable), onde $k\geq \max\{n-m+1,1\}$. Se $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ denota o conxunto crítico de $f,$ que é o conxunto de puntos $x\in \mathbb {R} ^{n}$ no que a matriz xacobiana de $f$ ten rango $<m$, daquela a imaxe $f(X)$ ten unha medida de Lebesgue 0 en $\mathbb {R} ^{m}$.

Falando intuitivamente, isto significa que aínda que $X$ pode ser grande, a súa imaxe debe ser pequena no sentido da medida de Lebesgue: mentres $f$ pode ter moitos puntos críticos no dominio $\mathbb {R} ^{n}$, debe ter poucos valores críticos na imaxe $\mathbb {R} ^{m}$.

De forma máis xeral, o resultado tamén vale para os mapas entre variedades diferenciábeis $M$ e $N$ de dimensións $m$ e $n$, respectivamente. O conxunto crítico $X$ dunha función $C^{k}$

$f:N\rightarrow M$

consiste naqueles puntos nos que o diferencial nos fibrados tanxentes

$df:TN\rightarrow TM$

ten rango inferior a $m$ como transformación lineal. Se $k\geq \max\{n-m+1,1\}$, entón o teorema de Sard afirma que a imaxe de $X$ ten medida de Lebesgue cero como subconxunto de $M$. Esta formulación do resultado segue a partir da versión para espazos euclidianos tomando un conxunto numerábel de zonas de coordenadas. A conclusión do teorema é unha enunciado local, xa que unha unión numerábel de conxuntos de medida cero é un conxunto de medida cero, e a propiedade dun subconxunto dunha zona de coordenadas que ten medida cero é invariante baixo un difeomorfismo.

Variantes

Existen moitas variantes deste lema, que xoga un papel básico na teoría da singularidade entre outros campos. O caso $m=1$ foi probado por Anthony P. Morse en 1939, e o caso xeral por Arthur Sard en 1942.

Stephen Smale probou unha versión para variedades de Banach de dimensións infinitas.

A afirmación é bastante potente e a proba implica análise. En topoloxía cítase a miúdo (como no teorema do punto fixo de Brouwer e algunhas aplicacións na teoría de Morse) para demostrar o corolario máis débil de que “un mapa suave non constante ten polo menos un valor regular”.

En 1965 Sard xeneralizou aínda máis o seu teorema para afirmar que se $f:N\rightarrow M$ é $C^{k}$ para $k\geq \max\{n-m+1,1\}$ e se $A_{r}\subseteq N$ é o conxunto de puntos $x\in N$ tal que $df_{x}$ ten un rango estritamente inferior a $r$, entón a medida de Hausdorff r-dimensional de $f(A_{r})$ é cero. En particular, a dimensión de Hausdorff $f(A_{r})$ é como máximo r. Advertencia: a dimensión de Hausdorff $f(A_{r})$ pode estar arbitrariamente próxima a r.

Véxase tamén

Bibliografía

• Hirsch, Morris W. (1976). Differential Topology. New York: Springer. pp. 67–84. ISBN 0-387-90148-5. 
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. MR 0193578. Zbl 0129.13102.