Sistema LTI

A teoría lineal invariante no tempo, comunmente coñecida como teoría do sistema LTI, investiga a resposta dun sistema lineal e invariante no tempo a un sinal de entrada arbitrario. As traxectorias destes sistemas mídense e rastrexan comunmente a medida que avanzan no tempo (por exemplo, unha forma de onda acústica), pero en aplicacións como o procesamento de imaxes e a teoría de campo, os sistemas LTI tamén teñen traxectorias en dimensións espaciais. Por tanto, estes sistemas tamén se chaman linealmente invariantes na translación para dar á teoría o alcance máis xeral. No caso de sistemas xenéricos de tempo discreto (é dicir, mostreados), linealmente invariante no desprazamento é o termo correspondente. Un bo exemplo dos sistemas LTI son os circuítos eléctricos que poden estar formados por resistencias, condensadores e inductores. Utilizouse en matemáticas aplicadas e ten aplicacións directas en espectroscopia RMN, sismoloxía, circuítos, procesamento de sinais, teoría de control e outras áreas técnicas.

Propiedades

As propiedades definitorias de calquera sistema LTI son a linearidade e a invariancia no tempo.

• A linearidade significa que a relación entre a entrada e a saída do sistema é unha Aplicación linear: Se a entrada $x_{1}(t)\,$ produce a resposta $y_{1}(t)\,$, e a entrada $x_{2}(t)\,$ produce a resposta $y_{2}(t)\,$, entón a entrada escalada e sumada $a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\,$ produce a resposta escalada e sumada $a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\,$ onde $a_{1}$ e $a_{2}$ son escalares reais. Dedúcese que isto pode estenderse a un número arbitrario de termos, e así para os números reais $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$:

A entrada   $\sum _{k}c_{k}\,x_{k}(t)$   produce a saída   $\sum _{k}c_{k}\,y_{k}(t).\,$

En particular,

A entrada   $\int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,x_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega$   produce a saída   $\int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,y_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,$

onde $c_{\omega }$ e $x_{\omega }$ son escalares e entradas que varían nun continuo indexado por $\omega$. Por tanto, se unha función de entrada pode representarse mediante un continuo de funcións de entrada, combinadas "linealmente", como se mostra, entón a función de saída correspondente pode representarse mediante o continuo correspondente de funcións de saída, escaladas e sumadas da mesma maneira.

• A invariancia de tempo significa que se aplicamos unha entrada ao sistema agora ou T segundos a partir de agora, a saída será idéntica, excepto por un atraso de T segundos. É dicir, se a saída debida á entrada $x(t)$ é $y(t)$, entón a saída debida á entrada $x(t-T)$ é $y(t-T)$. Por tanto, o sistema é invariante no tempo porque a saída non depende do tempo particular en que se aplica a entrada.