Partícula libre

Na física, unha partícula libre é unha partícula que, en certo sentido, non está enlazada. En física clásica isto significa que a partícula non está sometida a ningunha forza.

Partícula libre clásica

A partícula libre clásica caracterízase simplemente pola súa velocidade constante. O momento linear vén dado por

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

e a enerxía por

$E={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$

onde $m\,$ é a masa da partícula e $\mathbf {v}$ o vector velocidade da partícula.

Partícula libre cuántica non-relativista

A ecuación de Schrödinger dependente do tempo para unha partícula libre é:

(1)

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$

É fácil comprobar que para este sistema o operador Hamiltoniano conmuta co operador momento e, polo tanto, existe un conxunto completo de solucións comúns. A solución correspondente a valores definidos da enerxía e do momento vén dada por unha onda plana:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$

e, polo tanto, coa restrición

(2)

$\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} ^{2}}{2m}},\quad {\mbox{é dicir,}}\quad E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}$

onde r é o vector posición, t é o tempo, k é o vector de onda, ω é a frecuencia angular e $A$ a amplitude. Unha onda plana representa o estado dunha partícula libre cunha probabilidade uniforme en todo o espazo, debido a que a densidade de probabilidade toma un valor constante e independente da posición r e do tempo t, $|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\Psi ^{*}\,\Psi =|A|^{2}$. Como a integral de $\Psi ^{*}\,\Psi$ sobre todo o espazo debe de ser a unidade, hai un problema á hora de normalizar esta autofunción do momento (unha alternativa é considerar a normalización en función do fluxo). Mais non será un problema para unha partícula libre máis xeral, xa que dalgún xeito encontrarase localizada tanto na súa posición como no seu momento (véxase partícula nunha caixa para un trato máis detallado).

Paquete de onda

Representación dun paquete de ondas unidimensional: a parte real, parte imaxinaria e a densidade de probabilidade dun paquete de ondas desprazándose cara á dereita.

Unha partícula libre máis xeral non ten un momento ou unha enerxía definida. Neste caso, a función de onda da partícula libre represéntase como unha superposición de ondas planas (que describen o estado dunha partícula libre de momento definido), denominada paquete de ondas:

$\left.\right.\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (k)t)}d\mathbf {k}$

onde a integral se define sobre todo o espazo k, e onde $\omega$ depende de $k$ segundo a ecuación (2). Nótese que esta función, ao contrario que as ondas planas, é de cadrado integrable e, polo tanto, pódese normalizar.

A velocidade de grupo da onda defínese como

$\left.\right.v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {dE}{dp}}=v$

onde $v$ é a velocidade clásica da partícula. A velocidade de fase da onda defínese como

$\left.\right.v_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}$

Se supoñemos por simplicidade que a variación da amplitude $A(\mathbf {k} )$ é simétrica respecto do seu valor máximo $\mathbf {k} _{0}$, obtemos que o valor esperado do momento p é

$\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} _{0}$

mentres que o valor esperado da enerxía $E$ é

$\langle E\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega (k_{0})$

Despexando $\mathbf {k} _{0}$ e ω e substituíndo na ecuación que as relaciona, obtemos a relación xa coñecida entre enerxía e momento para partículas non-relativistas con masa $m$

$\langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}$

onde p=|p|.

Densidade de corrente na mecánica cuántica

Na mecánica cuántica, a corrente de probabilidade é un concepto que describe o fluxo de densidade de probabilidade. Así, en mecánica cuántica non-relativista, defínese como

$\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )={\mbox{Re}}(\Psi ^{*}{\frac {\hbar }{im}}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )$

Para o caso dunha partícula libre $\Psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}$, a corrente de probabilidade vén dada por

$\mathbf {j} =|A|^{2}{\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}$

Partícula libre relativista

Hai varias ecuacións que describen as partículas cuánticas relativistas. Para unha descrición das solucións para unha partícula libre ver os artigos:

• A ecuación de Klein-Gordon describe partículas cuánticas relativistas sen carga nin spin
• A ecuación de Dirac describe o electrón relativista (cargado, spin 1/2)

Notas

.

Véxase tamén

Bibliografía

• Claude Cohen-Tannoudji; Bernard Diu et Frank Laloë (1977). Mécanique quantique, vol. I et II. Paris: Collection Enseignement des sciences (Hermann). ISBN 2-7056-5767-3.