Negación (lóxica)

operación que convirte a unha proposición na proposición oposta

En lóxica, a negación, tamén chamada non lóxico ou complemento lóxico, é unha operación que leva unha proposición a outra proposición "non ", que representa " non é verdade", escríbese , ou . Interprétase intuitivamente como verdadeiro cando é falso, e falso cando é verdadeiro.[1][2] A negación é polo tanto unha conexión lóxica unaria. Pódese aplicar como unha operación sobre nocións, proposicións, valores de verdade ou valores semánticos en xeral. Na lóxica clásica, a negación identifícase normalmente coa función de verdade que leva a verdade á falsidade (e viceversa).

Negación
Diagrama de Venn da negación
Outros nomesNon lóxico
complemento lóxico
linguaxe naturalnon A
linguaxe formal
outros símbolos
táboa de verdade
porta lóxica

Definición

editar

A negación é unha operación sobre un valor lóxico, normalmente o valor dunha proposición, que produce un valor de verdadeiro cando o seu operando é falso e un valor de falso cando o seu operando é verdadeiro. Así se a declaración   é verdadeira, daquela   (pronunciado "non P") sería logo falso; e pola contra, se   é verdadeira, daquela   sería falso.

A táboa de verdade   é a seguinte:

   
Verdadeiro Falso
Falso Verdadeiro

A negación pódese definir en termos doutras operacións lóxicas. Por exemplo,   pódese definir como   (onde   é consecuencia lóxica e   é falsidade absoluta). Tamén, pódese definir   como   para calquera proposición Q (onde   é a conxunción). A idea aquí é que calquera contradición é falsa, e aínda que estas ideas funcionan tanto na lóxica clásica como na lóxica intuicionista, non funcionan na lóxica paraconsistente, onde as contradicións non son necesariamente falsas. Na lóxica clásica, tamén obtemos unha identidade adicional,   pódese definir como  , onde   é a disxunción.

Alxébricamente, a negación clásica corresponde ao complementario nunha álxebra_de_Boole, e a negación intuicionista á pseudocomplementación nunha álxebra de Heyting. Estas álxebras proporcionan unha semántica para a lóxica clásica e intuicionista.

Notación

editar

A negación dunha proposición p denótase de diferentes xeitos, en diversos contextos de discusión e campos de aplicación. A seguinte táboa documenta algunhas destas variantes:

Notación Vocalización
  Non p
  Non p
  Non p
  Ene p
  p barra
  Non p

A notación   é a notación polaca.

Na teoría de conxuntos,   tamén se usa para indicar "non está no conxunto de":   é o conxunto de todos os membros de U que non son membros de A .

Precedencia

editar

Como forma de reducir o número de parénteses necesarios, pódense introducir regras de precedencia : ¬ ten unha precedencia maior que ∧, ∧ maior que ∨ e ∨ maior que →. Así, por exemplo,   é a escritura curta que representa  

Aquí temos unha táboa que mostra unha precedencia de uso habitual dos operadores lóxicos [3]

Operador Precedencia
  1
  2
  3
  4
  5

Propiedades

editar

Dupla negación

editar

Dentro dun sistema de lóxica clásica, a dupla negación, é dicir, a negación da negación dunha proposición.  , é loxicamente equivalente a  . Expresado en termos simbólicos,   . Na lóxica intuicionista, unha proposición implica a súa dobre negación, pero non á inversa. Isto marca unha diferenza importante entre a negación clásica e a intuicionista. Alxébricamente, a negación clásica chámase involución do período dous.

Distributividade

editar

As leis de De Morgan proporcionan unha forma de aplicar a propiedade distributiva á negación sobre a disxunción e a conxunción:

 .
 .

Linearidade

editar

Sexa   a operación xor lóxica (ou exclusivo) . En álxebra de Boole, unha función linear é unha que cumpre:

Se existe  ,  , para todos os   .

A negación é un operador lóxico linear.

Auto dual

editar

Na álxebra de Boole, unha función auto-dual é unha función tal que:

  para todos os . A negación é un operador lóxico auto-dual.

Negación dos cuantificadores

editar

Na lóxica de primeira orde, hai dous cuantificadores, un é o cuantificador universal   (significa "para todos") e o outro é o cuantificador existencial   (significa "existe"). A negación dun cuantificador é o outro cuantificador:   e  . Por exemplo, co predicado P como "x é mortal" e o dominio de x como o conxunto de tódolos humanos,   significa "todos os humanos son mortais". A negación do mesmo é  , que significa "non acontece que todos os humanos son mortais" que é equivalente a "existe unha persoa x no conxunto de todos os humanos que non é mortal".

Regras de inferencia

editar

Hai unha serie de formas equivalentes de formular regras para a negación. Unha forma habitual de formular a negación clásica nun contexto de dedución natural é tomar como regras primitivas de inferencia as seguintes:

  • Eliminación da negación: Dado p e ¬p inferimos q; esta regra tamén se chama "ex falso quodlibet" ou principio de explosión,
  • Eliminación da dupla negación: Dado ¬¬p inferimos p.

Linguaxe de programación e linguaxe común

editar

Como nas matemáticas, a negación utilízase en informática para construír enunciados lóxicos.

if (!(r == t))
{
  /*...sentencias a executar se r NON é igual a t...*/
}

O signo de exclamación "!" significa NON lóxico nas linguaxes de programación C, B e linguaxes cunha sintaxe inspirada en C como C++, Java, JavaScript, Perl e PHP. "NOT" é o operador usado en ALGOL 60, BASIC e linguaxes cunha sintaxe inspirada en ALGOL ou BASIC como Pascal, Ada, Eiffel e Seed7. Algunhas linguaxes (C++, Perl, etc.) proporcionan máis dun operador para a negación. Algunhas linguas como PL/I e Ratfor usan ¬ para a negación. A maioría das linguas modernas permiten que a afirmación anterior se acurte de if (!(r == t)) a if (r != t).

  1. Weisstein, Eric W. "Negation". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2020-09-02. 
  2. "Logic and Mathematical Statements - Worked Examples". www.math.toronto.edu. Consultado o 2020-09-02. 
  3. O'Donnell, John; Hall, Cordelia; Page, Rex (2007). Discrete Mathematics Using a Computer. Springer. p. 120. ISBN 9781846285981. .

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar
  • Gabbay, Dov, and Wansing, Heinrich, eds., 1999. What is Negation?, Kluwer.
  • Horn, L., 2001. A Natural History of Negation, University of Chicago Press.
  • G. H. von Wright, 1953–59, "On the Logic of Negation", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
  • Wansing, Heinrich, 2001, "Negation", in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell.
  • Tettamanti, Marco; Manenti, Rosa; Della Rosa, Pasquale A.; Falini, Andrea; Perani, Daniela; Cappa, Stefano F.; Moro, Andrea (2008). "Negation in the brain: Modulating action representation". NeuroImage 43 (2): 358–367. PMID 18771737. doi:10.1016/j.neuroimage.2008.08.004. 

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar
Taboas de verdade de cláusulas compostas