Lei de Biot–Savart
A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.
No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude do circuíto percorrido por unha corrente crea unha contribución elemental de campo magnético, , no punto situado na posición que apunta o vector a unha distancia respecto de , que apunta en dirección á corrente I:
onde é a permeabilidade magnética do baleiro, e é un vector unitario.
No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:
onde é a densidade de corrente no elemento de volume e é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.
En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión
Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.
A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.[1]
Lei de Biot-Savart xeneralizada
editarNunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:
onde:
- é o elemento diferencial de volume.
- é a constante magnética.
Diverxencia e rotacional de a partir da lei de Biot e Savart
editarA diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.
Diverxencia
editarAplicando o operador gradiente á expresión temos:
Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de en todo o volume, o operador non afecta a . Aplicando a correspondente identidade vectorial:
Dado que:
Temos:
Rotacional
editarAplicando o operador rotacional temos:
Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que
Realizando a integración obtemos finalmente:
Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.
Motivación histórica
editarXa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.
O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.[2]