Lei de Biot–Savart

A lei de Biot-Savart indica o campo magnético creado por correntes eléctricas estacionarias.

Ilustración da ecuación de Biot-Savart.

No caso das correntes que circulan por circuítos filiformes (ou pechados), a contribución dun elemento infinitesimal de lonxitude $d{\vec {l}}$ do circuíto percorrido por unha corrente $I\,$ crea unha contribución elemental de campo magnético, $d{\vec {B}}$, no punto situado na posición que apunta o vector ${\vec {U}}r$ a unha distancia $r$ respecto de $d{\vec {l}}$, que apunta en dirección á corrente I:

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {Id{\vec {l}}\times {\hat {r}}}{r^{2}}}$

onde $\mu _{0}$ é a permeabilidade magnética do baleiro, e ${\hat {r}}$ é un vector unitario.

No caso de correntes distribuídas en volumes, a contribución de cada elemento de volume da distribución vén dado por:

$d{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\vec {J}}\times {\vec {R}}}{r^{3}}}dv$

onde ${\vec {J}}$ é a densidade de corrente no elemento de volume $dv\,$ e ${\vec {R}}$ é a posición relativa do punto no que queremos calcular o campo, respecto do elemento de volume en cuestión.

En ambos casos, o campo final resulta de aplicar o principio de superposición a través da expresión

${\vec {B}}=\int d{\vec {B}}$

Na que a integral se estende a todo o recinto que contén as fontes do campo.

A lei de Biot-Savart é fundamental en magnetostática tanto como a lei de Coulomb o é en electrostática.

Lei de Biot-Savart xeneralizada

Nunha aproximación magnetostática, o campo magnético pode ser determinado se se coñece a densidade de corrente j:

$\mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {j} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dV}$

onde:

$\ dV$ é o elemento diferencial de volume.

$K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}$ é a constante magnética.

Diverxencia e rotacional de ${\vec {B}}$ a partir da lei de Biot e Savart

A diverxencia e rotacional dun campo magnético estacionario pode calcularse por simple aplicación de tales operadores á lei de Biot e Savart.

Diverxencia

Aplicando o operador gradiente á expresión temos:

$\nabla \cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \cdot ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'$

Dado que a diverxencia se aplica nun punto de avaliación do campo independente da integración de ${\vec {J}}$ en todo o volume, o operador non afecta a ${\vec {J}}$. Aplicando a correspondente identidade vectorial:

$\nabla \cdot {\vec {B}}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))dV'$

Dado que:

$(\nabla \times (\nabla \cdot {\frac {1}{r}}))=0$

Temos:

$\nabla \cdot {\vec {B}}=0$

Rotacional

Aplicando o operador rotacional temos:

$\nabla \times {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}\nabla \times ({\vec {J}}\times {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'$

Ao igual que ocorría na diverxencia, o operador non afecta a ${\vec {J}}$ xa que as súas coordenadas son as do dominio de integración e non as do punto de avaliación do rotacional. Aplicando a correspondente identidade vectorial e coñecendo que $\nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}}=4\pi \cdot \delta (r)$

$\nabla \times {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {J}}\cdot (\nabla \cdot {\frac {\hat {r}}{r^{2}}})dV'=\mu _{0}\int _{V}{\vec {J}}\cdot \delta (r)\cdot dV'$

Realizando a integración obtemos finalmente:

$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}\cdot {\vec {J}}$

Nótese que o resultado anterior só é válido para campos magnéticos estacionarios. Se o campo magnético non fose estacionario aparecería á parte o termo debido á corrente de desprazamento.

Motivación histórica

Ilustración esquemática do experimento de Oersted.

Xa no século XVII había, dentro da comunidade científica, a sospeita de que fenómenos eléctricos e magnéticos puidesen estar relacionados. Iso motivou o físico Hans Christian Oersted a facer experimentos para observar o efecto da electricidade nunha agulla magnética. Entre 1819 e 1820, Oersted observou que ao pór un fío condutor dun circuíto eléctrico fechado paralelamente a unha agulla, esta sufría unha deflexión significativa en relación á súa dirección inicial. Oersted publicou os resultados do seu experimento en xullo de 1820, limitándose a unha descrición cualitativa do fenómeno.

O descubrimento de Oersted foi divulgado en setembro de 1820 na Academia Francesa, o que motivou diversos estudosos de Francia a repetir e estender os seus experimentos. A primeira análise precisa do fenómeno foi publicada polos físicos Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, os cales conseguiron formular unha lei que describía matematicamente o campo magnético producido por unha distribución de corrente eléctrica.