Función eta de Dirichlet

Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a función eta de Dirichlet defínese como

\eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)

onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo s con parte real positiva, dado por

\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.

Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en s = 1.

En forma equivalente, pódese definir

\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}

na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é

\eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).

A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

Método de Borwein

Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se

d_{k}=n\sum _{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}

entón

\eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),

onde o termo erro γ_n atópase acoutado por

\gamma _{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)

onde $t=\Im (s)$ .

Valores particulares

Véxase tamén constante zeta

η(0) = ¹⁄₂, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
η(−1) = ¹⁄₄, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 + . . ..
Para k enteiro > 1, se B_k é o k-esimo número de Bernoulli entón
$\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.$