Revisión como estaba o 13 de xullo de 2020 ás 16:47 editar Carxibai (conversa \| contribucións) 108 edicións Creada como tradución da páxina "Teorema de Bolzano-Weierstrass" Etiquetas: Tradución de contido Tradución de contido (v2)		Revisión como estaba o 13 de xullo de 2020 ás 16:49 editar desfacer Carxibai (conversa \| contribucións) 108 edicións m →‎Enunciado: ortografía Etiqueta: Edición visual Edición máis nova →
Liña 2: == Enunciado == Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito '''R'''<sup>''n''</sup>. O teorema establece que cada sucesión limitada en '''R'''<sup>''n''</sup> ten ~~una~~unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de '''R'''<sup>''n''</sup> é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado. == Demostración == En primeiro lugar, aplicando o método de [[indución matemática]], demostraremos o teorema cando n = 1, nese caso faremos uso da orde de '''R''' . De feito temos o seguinte resultado. '''Lema''': Cada sucesión { x<sub>n</sub> } en '''R''' ten ~~una~~unha subsucesión monótona. '''Demostración''': Imos chamar a un número enteiro positivo n un "pico da secuencia", se m> n implica {{Nowrap\|''x''<sub> ''n''</sub> > ''x''<sub> ''m''</sub>}} , é dicir, se ''x<sub>n</sub>'' é maior que todos os termos seguintes da sucesión. Supoñamos primeiro que a sucesión ten infinitos picos, ''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub> < ''n''<sub>3</sub> < … < ''n<sub>j</sub>'' < … Entón a subsucesión <math> \{x_{n_j}\}</math>correspondente aos picos é monotonamente decrecente, co que a lema queda probado.<math> \{x_{n_j}\}</math>. Así que supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa N o último pico e {{Nowrap\|1=''n''<sub>1</sub> = ''N'' + 1}} . Entón ''n''<sub>1</sub> non é un pico, xa que {{nowrap\|''n''<sub>1</sub> > ''N''}}, o que implica a existencia dun {{Nowrap\|''n''<sub>2</sub> > ''n''<sub>1</sub>}} con <math>x_{n_2} \geq x_{n_1}.</math> Unha vez máis, {{Nowrap\|''n''<sub>2</sub> > ''N''}} non é un pico, por tanto hai n<sub>3</sub> >{{Nowrap\|''n''<sub>2}} con <math>x_{n_2} \geq x_{n_1}.</math> Repetir este proceso conduce a unha subsucesión infinita non decrecente, <math>x_{n_1} \leq x_{n_2} \leq x_{n_3} \leq \ldots</math> Ago'''r'''a supoñamos que temos ~~una~~unha sucesión limitada en '''R''', polo Lema existe ~~una~~unha subsucesión monótona, necesariamente limitada. Pero séguese do teorema de converxencia monótona que esta subsucesión debe converxer, co que remata a proba Por último, o caso xeral pode ser facilmente reducido ao caso de n = 1 como segue: dada ~~una~~unha secuencia limitada en '''R'''<sup>''n''</sup>, a sucesión das primeiras coordenadas é ~~una~~unha sucesión real limitada, por tanto ten ~~una~~unha subsucesión converxente. A continuación, pode extraerse unha subsubsucesión converxente das segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal n subsucesións - que vén sendo unha subsucesión da sucesión orixinal - na que cada coordenada converxe , por tanto, a propia subsucesión é converxente. == Compacidade secuencial en espazos euclidianos == Supoñamos que ''A'' é un subconxunto de '''R'''<sup>''n''</sup> co''a'' propied''a''de de que toda sucesión en ''A'' ten ~~una~~unha subsucesión converxente a un elemento de ''A''. Entón, ''A'' debe ser limitado, pois pola contra existen caso contrario existiría unha sucesión ''x<sub>m</sub>'' en ''A'' con {{nowrap begin}}\|\| ''x''<sub>''m''</sub> \|\| ≥ ''m''{{nowrap end}} ~~paira~~para todos os ''m'', e logo cada subsucesión é ilimitada e polo tanto non converxente. Por outra b''a''nd''a'' ''A'' debe ser pechado, xa que para cada punto na fronteira de ''A'' pódese construír unha sucesión en ''A'' converxente a x. Así, os subcoxjuntos ''A'', de '''R'''<sup>''n''</sup>, p''a''ra que os que cada sucesión en A ten unha subsucesión converxente a un elemento de A – é dicir, os subconxuntos secuencialmente compacto na topoloxía do subespazo – son precisamente os conxuntos pechados e limitados. Esta forma do teorema fai especialmente clara a analoxía co [[Teorema de Heine-Borel]], que afirma que un subconxunto de '''R'''<sup>''n''</sup> é compacto se e só se é pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo é compacto metrizable se e só se é secuencialmente compacto, de modo que o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel son esencialmente o mesmo resultado. == Historia == O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos [[Bernard Bolzano]] e [[Karl Weierstrass]]. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado ~~una~~unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise. == Véxase tamén ==

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Diferenzas entre revisións