Teorema de Bolzano-Weierstrass

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: [[Teorema de Weierstrass|El teorema de análisis real]].

Na análise real, o teorema de Bolzano–Weierstrass é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos.

Enunciado

Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito Rⁿ. O teorema establece que cada sucesión limitada en Rⁿ ten una subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de Rⁿ é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado.

Demostración

En primeiro lugar, aplicando o método de indución matemática, demostraremos o teorema cando n = 1, nese caso faremos uso da orde de R . De feito temos o seguinte resultado.

Lema: Cada sucesión { x_n } en R ten una subsucesión monótona.

Demostración: Imos chamar a un número enteiro positivo n un "pico da secuencia", se m> n implica x_n > x_m ,  é dicir, se x_n é maior que todos os termos seguintes da sucesión. Supoñamos primeiro que a sucesión ten infinitos picos, n₁ < n₂ < n₃ < … < n_j < … Entón a subsucesión $\{x_{n_{j}}\}$correspondente aos picos é monotonamente decrecente, co que a lema queda probado.$\{x_{n_{j}}\}$. Así que supoñamos agora que só hai un número finito de picos, sexa N o último pico e n₁ = N + 1 . Entón n₁ non é un pico, xa que n₁ > N, o que implica a existencia dun n₂ > n₁ con  $x_{n_{2}}\geq x_{n_{1}}.$  Unha vez máis, n₂ > N non é un pico, por tanto hai n₃ >n₂ con $x_{n_{2}}\geq x_{n_{1}}.$  Repetir este proceso conduce a unha subsucesión infinita non decrecente, $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots$

Agora supoñamos que temos una sucesión limitada en R, polo Lema existe una subsucesión monótona, necesariamente limitada. Pero séguese do teorema de converxencia monótona que esta subsucesión debe converxer, co que remata a proba

Por último, o caso xeral pode ser facilmente reducido ao caso de n = 1 como segue: dada una secuencia limitada en Rⁿ, a sucesión das primeiras coordenadas é una sucesión real limitada, por tanto ten una subsucesión converxente. A continuación, pode extraerse unha subsubsucesión converxente das segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal n subsucesións - que vén sendo unha subsucesión da sucesión orixinal - na que cada coordenada converxe , por tanto, a propia subsucesión é converxente.

Compacidade secuencial en espazos euclidianos

Supoñamos que A é un subconxunto de Rⁿ coa propiedade de que toda sucesión en A ten una subsucesión converxente a un elemento de A. Entón, A debe ser limitado, pois pola contra existen caso contrario existiría unha sucesión x_m en A con   || x_m || ≥ m paira todos os m, e logo cada subsucesión é ilimitada e polo tanto non converxente. Por outra banda A debe ser pechado, xa que para cada punto na fronteira de A pódese construír unha sucesión en A converxente a x. Así, os subcoxjuntos A, de Rⁿ, para que os que cada sucesión en A ten unha subsucesión converxente a un elemento de A –  é dicir, os subconxuntos secuencialmente compacto na topoloxía do subespazo –  son precisamente os conxuntos pechados e limitados. Esta forma do teorema fai especialmente clara a analoxía co Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconxunto de Rⁿ é compacto se e só se é pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo é compacto metrizable se e só se é secuencialmente compacto, de modo que o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel son esencialmente o mesmo resultado.

Historia

O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado una vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.

Véxase tamén

• Teorema de Heine-Borel

Bibliografía

• Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

Ligazóns externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano-Weierstrass theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 
• Weisstein, Eric W. «Bolzano-Weierstrass Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.