Identidade de Bézout: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
m Traducido do artigo da Wikipedia en inglés |
m Arranxos varios, replaced: {{cite book → {{Cita libro (3), {{cite journal → {{Cita publicación periódica |
||
Liña 1:
En [[teoría de números]], a '''identidade de Bézout''' (tamén coñecido como '''lema de Bézout'''{{Sfn|Everest|Ward|||2008|p=}}) é un teorema que se enuncia como: "Sexan ''a'' e ''b'' [[enteiro]]s con [[máximo común divisor]] ''d''. Entón, existen ''x'' e ''y'' enteiros tales que ''ax + by = d''. En xeral, os enteiros da forma ''ax+by'' son exactamente os múltiplos de ''d''".{{Sfn|Jones|Jones|1998|||p=7}}
O enteiros ''x'' e ''y'' son coñecidos como os '''coeficientes de Bézout''' para (''a'', ''b''). Esta parella de enteiros non é única e pode calcularse usando o algoritmo de Euclides estendido. De ser ámbolos dous non nulos, o algoritmo de Euclides estendido produce unhas das dúas parellas tales que <math>|x|\leq \left|\frac{b}{c}\right| </math> e <math>|y|\leq \left|\frac{a}{c}\right| </math>(a igualdade só pode ocorrer se ''a'' é múltiplo de ''b'' ou, ao revés, se ''b'' é múltiplo de ''a'').
Moitos outros teoremas elementais de teoría de números son consecuencias da identidade de Bézout, como o [[lema de Euclides]] ou o [[teorema chinés do resto]].
Liña 14:
Onde {{Math|''k''}} é un enteiro arbitrario e as fraccións simplifican a enteiros.
Entre estes pares de coeficientes de Bézout, hai exactamente dous deles satisfán
: <math> |x| \le \left |\frac{b}{\gcd(a,b)}\right |\quad \text{e}\quad |y| \le \left |\frac{a}{\gcd(a,b)}\right |,</math>
Liña 75:
=== Para tres ou máis enteiros ===
A identidade de Bézout pódese estender a máis de dous enteiros: se
: <math>\gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n) = d </math>
Liña 91:
A identidade de Bézout funciona para [[Polinomio|polinomios dunha variábel]] sobre un [[Corpo (álxebra)|corpo]] exactamente do mesmo xeitos que cos enteiros. En particular os coeficientes de Bézout e o máximo común divisor pode ser computado co [[Extended Euclidean algorithm|algoritmo de Euclides estendido]].
Ao ser as raíces comúns de dous polinomios o máximo común divisor deles, da identidade de Bézout xunto co [[teorema fundamental da álxebra]], dedúcese que:
: Para polinomios dunha variábel ''f'' e ''g'' con coeficientes nun corpo, existir polinomios ''a'' e ''b'' tal que ''af'' + ''bg'' = 1 se e só se ''f'' e ''g'' non teñen raíces comúns en calquera [[corpo alxebricamente pechado]] (xeralmente o corpo de [[Número complexo|números complexos]]).
Liña 105:
== Historia ==
O [[matemático]] [[Pobo francés|francés]] [[Étienne Bézout]] (1730–1783) probou esta identidade para polinomios.<ref>{{
{{
</ref><ref>
{{
</ref><ref>{{
[[Categoría:Teoría de números]]▼
[[Categoría:Álxebra]]▼
[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]▼
== Notas ==
Liña 130 ⟶ 126:
* "''[http://mathworld.wolfram.com/BezoutsIdentity.html Bézout's Identity]''" en ''MathWorld'' {{en}}
* "''[[proofwiki:Bézout'
▲[[Categoría:Teoría de números]]
▲[[Categoría:Álxebra]]
▲[[Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas]]
| |||