Produto cartesiano: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
m Bot - borrado de comas antes de etcétera [http://academia.gal/dicionario#searchNoun.do?nounTitle=etc%C3%A9tera] |
m Arranxos varios |
||
Liña 1:
Na [[Matemática]], dados dous [[conxunto]]s ''X'' e ''Y'', o '''produto cartesiano''' (ou ''produto directo'') dos dous conxuntos (escrito como ''X'' × ''Y'') é o conxunto de todos os [[Par ordenado|pares ordenados]] cuxo primeiro elemento pertence a ''X'' e o segundo, a ''Y''.
:<math>X\times Y = \{(x,y) \mid x\in X\;\wedge\;y\in Y\}. </math>
O produto cartesiano recibe o seu nome de [[René Descartes]], cuxa formulación da [[xeometría analítica]] deu orixe a este concepto.
Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da [[baralla inglesa]]
: <math>X = \{\mathrm{A}, \mathrm{K}, \mathrm{Q}, \mathrm{J}, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2\} </math>
e o Y é o dos catro paus:
: ''Y'' = {♠, ♥, ♦, ♣}
entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:
: ''X'' × ''Y'' = {(A, ♠), (K, ♠), ..., (2, ♠), (A, ♥), ..., (3, ♣), (2, ♣) }.
Outro exemplo é o plano bidimensional '''R''' × '''R''', onde '''R''' é o conxunto de [[número real|números reais]] e os pares ordenados teñen a forma de (''x'',''y''), onde ''x'' e ''y'' son números reais (vexa o [[sistema de coordenadas cartesiano]] ). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados [[Relación|relacións binarias]], e as [[función]]s, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.
== Cardinal ==
O [[número cardinal|cardinal]] do produto cartesiano de dous conxuntos é o [[multiplicación|produto]] dos cardinais dos conxuntos individuais:
: <math>|X \times Y| = |X| \cdot |Y|</math>
== Xeneralización ==
O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:
:''X''<sub>1</sub> × ... × ''X<sub>n</sub>'' = { (''x''<sub>1</sub>,... ,''x<sub>n</sub>'') | ''x''<sub>1</sub> pertence a ''X''<sub>1</sub> e ... e ''x<sub>n</sub>'' pertence a ''X<sub>n</sub>'' }
ou intuitivamente (''X''<sub>1</sub> × ... × ''X<sub>n-1</sub>'') × ''X<sub>n</sub>''.
Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos:
Liña 35:
: {$, %},
o produto cartesiano L × M × N é:
: {(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }
Outro exemplo diso é o [[espazo euclidiano]] de tres dimensións <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>.
== Notación potencial ==
Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:
<math>\begin{matrix}
Liña 47:
</math>
Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como <math>\mathbb{R}^3</math>.
== Produto infinito ==
A observación de que a estrutura do produto cartesiano <math>X^n\,</math> ten unha [[teoría das categorías|estrutura]] semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ..., n} e imaxe ''X'' suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.
Sexa <math>\Lambda\,</math> un conxunto (non-vacío), chamado conxunto de índices. Sexa <math>X_{\lambda}\,</math> un conxunto definido para cada índice <math>\lambda \in \Lambda\,</math> (poden ser iguais ou non). Entón o '''produto''' destes conxuntos é definido por:
* <math>\prod_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} = \{ f : \Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X_{\lambda} \, \ f(a) \in X_a \} \, </math>
=== Exemplo ===
Sexa <math>\Lambda = \mathbb{N^\star}\,</math>, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa <math>X_i = \{ 1, 2, \ldots, i \} \,</math>. Entón <math>\prod X_i\,</math> é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.
== Proxección canónica ==
As funcións máis importantes que teñen como dominio un '''produto cartesiano''' son as proxeccións canónicas.
No caso finito, a ''i-ésima'' proxeción canónica é a función que retorna a ''i-ésima'' coordenada.
Ou sexa:
* <math>\pi_i(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) = x_i\,</math>
No caso infinito, como cada elemento de <math>\Pi_{\lambda} X_{\lambda}\,</math> é unha función, temos que:
* <math>\pi_{\lambda}(f) = f(\lambda)\,</math>
Liña 76:
:: <math>\pi_2(x, y) = y\,</math>
* No conxunto das [[Secuencia matemática|secuencias]] de números reais, que pode ser visto como o produto <math>\Pi_{i \in \mathbb{N^{\star}}} \mathbb{R}\,</math>, a ''i-ésima'' proxeción canónica é a función que retorna o ''i-ésimo'' elemento. Por exemplo:
:: <math>\pi_{10} (2, 4, 8, 16, \ldots) = 1024\,</math>
== Produtos de Estruturas Matemáticas ==
| |||