Teoría de números: Diferenzas entre revisións
Contido eliminado Contido engadido
m retiro petición de lixo Etiqueta: artigo novo moi curto |
Teoría dos números a Teoría de números |
||
Liña 1:
{{1000}}
[[Ficheiro:Hortus Deliciarum - Arithmetik.gif|miniatura|dereita|200px|[[Alegoría]] da [[Aritmética]], unha das sete [[artes liberais]], portando unha [[corda anoada]] (tirada do [[manuscrito]] [[Hortus deliciarum]] do [[século XII]]).]]
[[Ficheiro:Ulam 1.png|miniatura|dereita|200px|Cando dispoñemos os [[números naturais]] nunha [[espiral]] e destacamos os [[número primo|números primos]], observamos un intrigante e non totalmente explicado patrón, chamado [[espiral de Ulam]].]]
A '''teoría de números''' é a rama da [[matemática pura]] que se ocupaba inicialmente do estudo dos [[números enteiros]] e dos problemas [[Aritmética|aritméticos]] relacionados coa [[multiplicación]] e a [[División (matemáticas)|división]] de enteiros<ref name=Encyclopedia>{{Cita web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Number_theory |título=Number theory |obra=Encyclopedia of Mathematics |editor=Springer |dataacceso=6 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés}}</ref>. É chamada ás veces "A Raíña das Matemáticas" debido ó seu papel fundacional da disciplina<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Long |1972 |p=1 |ref=Long}}</ref>. Os teóricos dos números estudan os [[Número primo|números primos]] así como as propiedades de obxectos construídos a partir dos enteiros (e.g. os [[números racionais]]) ou definidos como xeneralización destes (e.g. os [[números enteiros alxébricos]]).
A simplicidade dos enunciados e a fácil accesibilidade á maioría dos problemas da teoría de números fan que sexa moi atractiva. En contraposición, outra peculiaridade é a dificultade na resolución dos problemas. Por exemplo, hai máis de 2.300 anos [[Euclides]] conxecturou que hai infinitos [[números primos xemelgos]], [[conxectura]] que aínda está sen demostrar<ref name=Encyclopedia/>.
Problemas concretos da teoría de números chegaron a ser fonte de importantes ramas independentes da [[Matemáticas|matemática]]. Entre estas están: a teoría de números primos e as teorías relacionadas da [[función zeta]] e das [[serie de Dirichlet|series de Dirichlet]], a teoría das [[Ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]], a [[teoría aditiva dos números]], a [[teoría métrica dos números]], a teoría dos [[Número alxébrico|números alxébricos]] e [[Número transcendente|transcendentes]], a [[teoría alxébrica dos números]], a teoría das [[aproximación diofantiana|aproximacións diofantianas]], a [[teoría probabilística dos números]], e a [[xeometría dos números]]. Algúns exemplos son: unha fonte da teoría analítica dos números foi o problema da distribución dos números primos en series de [[números naturais]] e o problema de representar números naturais como sumas de termos dunha forma particular. A resolución de ecuacións diofantianas, e en particular o [[Último Teorema de Fermat]], foi a orixe da teoría alxébrica dos números. O problema de construír un círculo de área unitaria só co uso da regra sen graduar e o compás ([[Cuadratura do círculo]]) levou a cuestións acerca da natureza aritmética do número π e, en consecuencia, á creación da teoría de números alxébricos e transcendentes<ref name=Encyclopedia/>.
Todas as ramas e teorías numéricas mencionadas están interconectadas, complementándose e enriquecéndose mutuamente.
== ''Teoría de números'' ou ''Aritmética''? ==
A Teoría de números foi chamada "Aritmética" ata que a comezos do [[século XX]] foi impoñéndose a denominación actual<ref>Xa en 1921 T.L. Heath tivo que explicar: "Por aritmética Platón entendía, non aritmética no noso sentido, senón a ciencia que considera os números en si mesmos, noutras palabras, o que nos entendemos por Teoría de números" ({{Cita Harvard sen parénteses |Heath |1921 |p=13 |ref=Heath}}).</ref>.
A xente común usa a palabra "aritmética" para referirse ás "operacións elementais". Tamén adquiriu outros significados en [[lóxica matemática]] (e.g. [[Axiomas de Peano|aritmética de Peano]]), e na [[ciencia da computación]] (e.g. [[punto decimal flotante]], que en inglés dise ''floating point arithmetic).''
O uso do termo "aritmética" para referirse á "teoría de números" volveu a gañar terreo na segunda metade do século XX, en gran parte debido á influencia dos [[matemático]]s [[Francia|franceses]]<ref>Véxase, e.g. {{Cita Harvard sen parénteses |Serre |1973 |ref=Serre}}. En 1952, Harold Davenport aínda tiña que aclarar que a Teoría de números era para el a "Aritmética Superior". No limiar do libro ''An Introduction to the Theory of Numbers'' (1938), os seus autores [[G. H. Hardy|Hardy]] e Wright escribiron: "Nunha ocasión suxerimos cambia-lo título por ''An introduction to arithmetic'', máis novelesco e, en certos aspectos, máis apropiado; mais foi sinalado que este título podería levar a confusión acerca do contido do libro" ({{Cita Harvard sen parénteses |Hardy |Wright |2008 |ref=Hardy}}).</ref>.
Entre tanto, ese termo aínda aparece nos nomes de obxectos matemáticos relacionados como as [[funcións aritméticas]], a [[aritmética de curvas elípticas]] ou o [[teorema fundamental da aritmética]]. En particular, prefírese o [[adxectivo]] "aritmético" a "teórico dos números".
== Historia ==
=== Orixes ===
==== Albores da aritmética ====
[[Ficheiro:Plimpton_322.jpg|dereita|miniatura|A táboa [[Plimpton 322]].]]
O primeiro descubrimento histórico de natureza aritmética é un fragmento dunha táboa de [[arxila]], a coñecida como [[Plimpton 322]], achada en [[Larsa]] ([[Mesopotamia]]) e datada no arredor do [[-1800|1800 a.C.]] Contén unha listaxe de [[terna pitagórica|ternas pitagóricas]], ou sexa, enteiros ''a, b, c'' tales que ''a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>''. A táboa ten moitas ternas e con números bastante elevados, o que fai pensar que non foron obtidos pola forza bruta. Na parte superior da primeira columna pódese ler: O ''takiltum'' da diagonal que foi subtraído tal que a largura...<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Neugebauer, Sachs & Götze |1945| p=40 |ref=Neugebauer & Sachs}}. O significado de termo ''talkitum'' non está claro. Robson prefire a interpretación "Ao cadrado da diagonal se lle quita 1 de tal xeito que aparece o lado curto..." {{Cita Harvard |Robson |2001 |p=192 |ref=Robson}}.</ref>
A disposición da táboa suxire<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Robson |2001 |p=189 |ref=Robson}}. Outras fontes dan a fórmula moderna <math>\scriptstyle (p^2-q^2,2pq,p^2+q^2)</math>. Van der Waerden dá tanto a fórmula moderna coma a que equivale á forma preferida por Robson {{Cita Harvard |van der Waerden |1961 |p=79 |ref=Waerden}}.</ref> que foi construída por medio do que equivale, na linguaxe moderna, à identidade:
<center><math>\left(\frac{1}{2} \left(x - \frac{1}{x}\right)\right)^2 + 1 =
\left(\frac{1}{2} \left(x + \frac{1}{x}\right)\right)^2,</math></center>
que está implícita nos exercicios rutineiros dos antigos babilonios<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |van der Waerden |1961 |p=184 |ref=Waerden}}</ref>. Se foi utilizado algún outro método<ref>Neugebauer {{Cita Harvard |Neugebauer |1969 |pp=36–40 |ref=Neugebauer}} discute a táboa en detalle e menciona de paso o Método de Euclides en notación moderna {{Cita Harvard |Neugebauer |1969 |p=39 |ref=Neugebauer}}.</ref>, as ternas foran inicialmente construídas e despois reordenadas por <math>\scriptstyle c/a</math>, presumibelmente para un uso real como unha táboa de consulta con vistas á súa aplicación práctica.
Non sabemos cales poden ter sido esas aplicacións, ou se podería ter habido algunha pois se, por exemplo, fose para a [[astronomía]], esta floreceu entre os babilonios máis tarde. Tense suxerido, pola contra, que a táboa fose unha fonte de exemplos numéricos para problemas escolares<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Friberg |1981 |p=302 |ref=Friberg}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Robson |2001 |p=201 |ref=Robson}}. Hai controversia ao respecto. O artigo de Robson está escrito dun xeito polémico {{Cita Harvard |Robson |2001 |p=167 |ref=Robson}} coa idea de que "quizais [...] hai que baixar a Plimpton 322 do seu pedestal" {{Cita Harvard |Robson |2001 |p=167 |ref=Robson}}; ao mesmo tempo, establece a conclusión de que <blockquote>[...] a cuestión "como foi construída a táboa?" non ten a mesma resposta que a pregunta "para que tipo de problemas foi feita a táboa?" A primeira pode respostarse máis satisfactoriamente por pares recíprocos, como foi primeiramente suxerido hai médio século, e a segunda por algunha clase de problemas de triángulos rectángulos {{Cita Harvard |Robson |2001 |p=202}}.</blockquote>
Robson apunta a idea de que o escriba que gravou a Plimpton 322 (quen tiña que "traballar para toda a vida", e non tería pertencido a unha "acomodada clase media") podería estar motivado pola súa propia "curiosidade ociosa" a falta dun "mercado para as novas matemáticas" {{Cita Harvard |Robson |2001 |pp=199-200 |ref=Robson}}.</ref>.
Mentres que a teoría de números babilonia, ou o que sobreviviu da súa matemática que se pode chamar así, consiste neste simple e notable fragmento, a álxebra deste pobo (no sentido que a palabra "álxebra" ten no ensino secundario) estaba excepcionalmente desenvolvida<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |van der Waerden |1961 |p=43 |ref=Waerden}}</ref>. As últimas fontes neoplatónicas<ref>[[Iámblico]] na "Vida de Pitágoras", citado en {{Cita Harvard sen parénteses |van der Waerden |1961 |p=108 |ref=Waerden}}. Véxase tamén a "Vida de Pitágoras" de [[Porfirio]] en {{Cita Harvard sen parénteses |Guthrie |1987 |loc=parágrafo 6 |ref=Guthrie}}. Van der Waerden {{Cita Harvard |van der Waerden |1961 |pp=87-90 |ref=Waerden}} sostén que [[Tales de Mileto|Tales]] coñecía as matemáticas babilonias.</ref> sosteñen que [[Pitágoras]] aprendeu matemáticas dos babilonios. Fontes máis temperás<ref>[[Heródoto]] (II. 81) e [[Isócrates de Atenas|Isócrates]] ("Busiris" 28), citados en {{Cita Harvard sen parénteses |Huffman |2011 |ref=Huffman}}. Sobre Tales, véxase Eudemo ap. Proclo, 65.7, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |O'Grady |2004 |p=1 |ref=Grady}}. [[Proclo]] usaba unha obra, hoxe perdida, de [[Eudemo de Rodas]], o "Catálogo de Xeómetras". Ver tamén a introdución de {{Cita Harvard sen parénteses |Morrow |1992 |p=xxx |ref=Morrow}} sobre a fiabilidade de Proclo.</ref> sosteñen que [[Tales de Mileto|Tales]] e [[Pitágoras]] estudaron en [[Exipto antigo|Exipto]].
Euclides IX 21—34 é moi probabelmente pitagórico<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Becker |1936 |p=533 |ref=Becker}}, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |van der Waerden |1961 |p=108 |ref=Waerden}}.</ref>; é un material moi simple ("impar por par é par", "se un número impar divide a un número par entón tamén divide á metade deste"), pero é todo o que se necesita para probar que <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> é [[Número irracional|irracional]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Becker |1936 |ref=Becker}}</ref>. Os místicos pitagóricos dábanlle moita importancia aos pares e impares<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |van der Waerden |1961 |p=109 |ref=Waerden}}</ref>. O descubrimento de que <math>\scriptstyle \sqrt{2}</math> é irracional atribúese aos pitagóricos temperás (anteriores a [[Teodoro de Cirene|Teodoro]])<ref>Platón en ''Teeteto'', citado en {{Cita Harvard sen parénteses |von Fritz |2004 |p=212 |ref=Fritz}}: "Teodoro escribiu para nós algo acerca das raíces, coma as raíces de tres ou cinco, amosando que son inconmensurábeis pola unidade".</ref>. A revelación (en termos modernos) de que hai números irracionais, semella ter provocada a primeira crise fundacional na historia das matemáticas; a súa proba ou a súa divulgación atribúese ás veces a [[Hipaso de Metaponto|Hipaso]], quen foi expulsado ou apartado da seita pitagórica<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |von Fritz |2004 |ref=Fritz}}</ref>. É só aquí onde podemos comezar a falar dunha división clara e concisa entre ''números'' (enteiros e racionais, os suxeitos da aritmética) e ''lonxitudes'' (números reais, sexan racionais ou non).
A tradición pitagórica fala tamén dos chamados [[número poligonal|números poligonais]] ou dos [[Número figurado|números figurados]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Heath |1921 |p=76 |ref=Heath}}</ref>. Mentres que os números cadrados, cúbicos etc., son vistos agora coma máis naturais cós triangulares, pentagonais etc., o estudo das sumas dos números triangulares e pentagonais acreditou unha morea de froitos durante os inicios da idade moderna (do [[século XVII]] ao [[século XIX|XIX]]).
Coñecemos material aritmético impreciso do antigo Exipto ou as fontes [[Vedas|védicas]], aínda que hai algunha álxebra en ambas. O [[teorema chinés do resto]] aparece como un exercicio<ref>Sun Zi, ''Suan Ching'', capítulo 3, problema 26. Pódese consultar en {{Cita Harvard sen parénteses |Lam |Ang |2004 |pp=219-220 |ref=Lam}}, que contén unha tradución completa do ''Suan Ching''. Véxase tamén a discusión en {{Cita Harvard sen parénteses |Lam |Ang |2004 |pp=138-140 |ref=Lam}}.</ref> na obra de [[Sun Zi (matemático)|Sun Zi]], ''Suan Ching'', tamén coñecida como ''A matemática clásica de Sun Zi'', escrita en data descoñecida entre os anos 220 e 473<ref>A data do texto foi acoutada entre os anos 220–420 (Yan Dunjie) ou entre os anos 280–473 (Wang Ling) a través de evidencias internas (sistemas de taxación asumidos no texto). Véxase {{Cita Harvard sen parénteses |Lam |Ang |2004 |pp=27–28 |ref=Lam}}.</ref>. Hai un importante paso glosado na solución de Sun Zi<ref>Capítulo 3, problema 26 do ''Suan Ching'' de Sun Zi en {{Cita Harvard sen parénteses |Lam |Ang |2004 |pp=219–220 |ref=Lam}}:<blockquote>
[26] Agora hai un número descoñecido de obxectos. Se os xuntamos por tríos, sobran dúas; se os agrupamos de cinco en cinco, sobran 3; e se as contamos de sete en sete, sobran 2. Achar o número de obxectos. ''Resposta'': 23.<br>
''Método'': Se facemos tríos e sobran dúas, poñamos 140. Se contamos de cinco en cinco e sobran 3, poñamos 63. Se os xuntamos de sete en sete e hai un resto de 2, poñamos 30. Sumemos os tres para obter 233, e restándo 210 temos a resposta. Se contamos por tríos e hai un resto de 1, poñamos 70. Se contamos de cinco en cinco e hai un resto de 1, poñamos 21. Se contamos de sete en sete e hai un resto de 1, poñamos 15. Cando [un número] excede de 106, o resultado obtense restándolle 105.</blockquote></ref>: é o problema que foi resolto posteriormente por [[Aryabhata]] mediante o método que el chamou ''kuttaka'' (véxase [[Teoría de números#India|embaixo]]).
Hai tamén algún misticismo numérico nas matemáticas chinesas<ref>Véxase, e.g., o capítulo 3, problema 36 do ''Suan Ching'' de Sun Zi en {{Cita Harvard sen parénteses |Lam |Ang |2004 |pp=223–224 |ref=Lam}}:<blockquote>
[36] Agora hai unha muller preñada cuxa idade é 29. Se o período de xestación é de 9 meses, determinar o sexo da criatura. ''Resposta'': Masculino.<br>
''Método'': Poñamos 49, sumémoslle o período de xestación e restémoslle a idade. Do resto, tomemos 1 representando o ceo, 2 a terra, 3 o home, 4 as catro estacións, 5 as cinco fases, 6 os seis tons das gaitas, 7 as sete estrelas [do Carro], 8 os oito ventos, e 9 as nove divisións [de China baixo Yu o Grande]. Se o resto é impar, [o sexo] é masculino e se o resto é impar, [o sexo] é feminino.</blockquote>
Este é o derradeiro problema no, de feito, tratado de Sun Zi.</ref>, pero, a diferenza dos pitagóricos, semella que non levan a ningures. Ao igual cos [[número perfecto|números perfectos]] dos pitagóricos,os [[cadrado máxico|cadrados máxicos]] chineses pasaron da superstición ao entretemento.
==== Grecia clásica e o inicio do período helenístico ====
Á parte duns poucos fragmentos, as matemáticas da [[Grecia clásica]] son coñecidas a través dos relatos de contemporáneos non matemáticos ou polos traballos dos inicios do [[período helenístico]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Boyer |Merzbach |1991 |p=82 |ref=Boyer}}</ref>. No caso da teoría de números isto significa, na maior parte, ''Platón'' e ''Euclides'', respectivamente.
[[Platón]] tiña un gran interese polas matemáticas, e distinguía claramente entre aritmética e cálculo (por ''aritmética'' entendía, en parte, teorizar sobre os números, máis cos significados que ''aritmética'' e ''teoría de números'' chegaron a ter posteriormente). Grazas a un dos diálogos de Platón, [[Teeteto (diálogo)|''Teeteto'']], sabemos que [[Teodoro de Cirene|Teodoro]] probou que <math>\scriptstyle \sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}</math> son irracionais. [[Teeteto]] foi, coma Platón, un discípulo de Teodoro; traballou na diferenciación das diferentes clases de [[Conmensurabilidade (matemáticas)|inconmensurábeis]], e deste xeito pode dicirse que foi un dos pioneiros no estudo dos [[número|sistemas numéricos]] ([[Pappus de Alexandría|Pappus]] describe o Libro X dos [[Elementos de Euclides]] como amplamente baseado na obra de Teeteto).
[[Euclides]] adicou parte dos seus ''Elementos'' aos números primos e á divisibilidade, tópicos que pertenzen sen ningunha dúbida á teoría de números e son básicos dentro dela (Libros VII ao IX dos ''Elementos''). En particular deu un algoritmo para o cálculo do máximo común divisor de dous números ([[algoritmo de Euclides]]; prop. VII.2 dos ''Elementos'') e a primeira demostración da [[Teorema de Euclides|infinitude dos primos]] (prop. IX.20 dos ''Elementos'').
No [[1773]], [[Gotthold Ephraim Lessing|Lessing]] publicou un [[epigrama]] que achara nun manuscrito durante o seu traballo como libreiro; afirmaba ser unha carta enviada por [[Arquímedes]] a [[Eratóstenes]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Vardi |1998 |pp=305-319 |ref=Vardi}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=17-24 |ref=Weil}}</ref>. O problema propuña o que chegou a ser coñecido como [[o problema bovino]] de Arquímedes. A súa solución, que non aparece no manuscrito, require resolver unha ecuación cadrática indeterminada, a cal se reduce á que máis tarde sería nomeada erroneamente [[ecuación de Pell]]. Ata onde sabemos, este tipo de ecuacións foron resoltas con éxito pola [[Teoría de números#India|matemática india]]. Descoñécese se Arquímedes tiña un método de resolución.
==== Diofanto ====
[[Ficheiro:Diophantus-cover.jpg|dereita|miniatura|150px|Tradución do grego ao latín da ''Arithmetica'' de [[Diofanto de Alexandría|Diofanto]], feita en [[1621]] por [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]].]]
Coñécese pouco da vida de [[Diofanto de Alexandría|Diofanto]]; probabelmente viviu no [[Século -III|século III a.C]], isto é, arredor de cincocentos anos antes que Euclides. Dos trece libros da ''[[Arithmetica de Diofanto]]'', sobreviven seis no [[Lingua grega antiga|grego]] orixinal e catro máis na tradución ao [[Lingua árabe|árabe]]. A ''Arithmetica'' é unha colección de problemas resoltos onde a tarefa é invariabelmente achar as solucións racionais dun sistema de ecuacións polinómicas, xeralmente da forma <math>\scriptstyle f(x,y)=z^2</math> ou <math>\scriptstyle f(x,y,z)=w^2</math>. De aí ven que, hoxe en día, se lle chamen ''[[Ecuación diofantiana|ecuacións diofantianas]]'' a aquelas ecuacións polinómicas nas que se buscan as solucións racionais ou enteiras.
Hai que dicir que Diofanto estudou puntos racionais (isto é, puntos cuxas coordenadas son racionais) en [[curva]]s e [[variedade alxébrica|variedades alxébricas]]; porén, a diferenza dos gregos do período clásico, quen fixeron o que agora chamariamos álxebra básica en termos xeométricos, Diofanto fixo o que agora chamariamos xeometría alxébrica básica en termos puramente alxébricos. Na linguaxe moderna, o que Diofanto fixo foi achar parametrizacións racionais de variedades; é dicir, dada unha ecuación da forma, digamos, <math>\scriptstyle f(x_1,x_2,x_3)=0</math>, o seu propósito era atopar, en esencia, tres [[función racional|funcións racionais]] <math>\scriptstyle g_1, g_2, g_3</math> tal que, para tódolos valores de <math>\scriptstyle r</math> e <math>\scriptstyle s</math>, tomando <math>\scriptstyle x_i = g_i(r,s)</math> para <math>\scriptstyle i=1,2,3</math> dá unha solución de <math>\scriptstyle f(x_1,x_2,x_3)=0.</math>
Diofanto tamén estudou as ecuacións dalgunhas curvas non racionais, para as que é posíbel unha parametrización racional. Amañouse para achar algúns puntos racionais nesas curvas ([[curva elíptica|curvas elípticas]], como sucede, no que parece que é a súa primeira aparición coñecida) mediante o que equivale a unha construción de tanxente: trasladado á xeometría coordenada (que non existía en tempos de Diofanto), este método visualizariase como o trazado da tanxente a unha curva nun punto racional coñecido, e despois atopando o outro punto de intersección da tanxente coa curva; este outro punto é un novo punto racional (Diofanto tamén recorreu ao que podería ser chamado un caso especial da construción da secante).
Aínda que Diofanto tiña gran interese nas solucións racionais, asumiu algúns resultados sobre números enteiros, en particular que cada enteiro é a suma de dous cadrados (se ben el nunca detallaba moito o seu traballo).
==== India ====
Mentres que a [[astronomía]] grega probabelmente influenciou o coñecemento indio, ata o punto de introducir a [[trigonometría]]<ref name="Plofker">{{Cita Harvard sen parénteses |Plofker |2008 |p=119 |ref=Plofker}}</ref>, semella que as matemáticas indias son, á parte diso, unha tradición autóctona<ref>Calquera contacto temperá entre a matemática babilonia e a india continúa sendo unha conxectura {{Cita Harvard |Plofker |2008 |p=42 |ref=Plofker}}</ref>. En particular, non hai evidencias de que os ''Elementos'' de Euclides chegaran á [[India]] antes do [[século XVIII]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Mumford |2010 |p=387 |ref=Mumford}}</ref>
[[Âryabhata]] (476–550) amosou que pares de congruencias simultáneas <math>\scriptstyle n\equiv a_1 \pmod m_1</math>, <math>\scriptstyle n\equiv a_2 \pmod m_2</math> podían resolverse por un método que chamou ''kuṭṭaka'', ou ''pulverizador''<ref>Âryabhata, Âryabhatîya, cap. 2, versos 32-33, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Plofker |2008 |pp=134-140 |ref=Plofker}}. Véxase tamén {{Cita Harvard sen parénteses |Clark |1930 |pp=42-50 |ref=Clark}}. Unha descrición lixeiramente máis explícita do ''kuttaka'' foi dada máis tarde por [[Brahmagupta]] en ''Brāhmasphuṭasiddhānta'', XVIII, 3–5 (en {{Cita Harvard sen parénteses |Colebrooke |1817 |p=325 |ref=Colebrooke}}), citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Clark |1930 |p=42 |ref=Clark}}.</ref>; este é un procedemento próximo a unha xeneralización do ''Algoritmo de Euclides'', que probabelmente se descubriu independentemente na India<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Mumford |2010 |p=388 |ref=Mumford}}</ref>. Semella que Âryabhata tiña en mente aplicacións para os cálculos astronómicos<ref name="Plofker"/>.
[[Brahmagupta]] (628) comezou o estudo sistemático das ecuacións cadráticas indefinidas, en particular a mal chamada ecuación de Pell, das que Arquímedes debeu ser o primeiro en interesarse, e que non comezaron a ser resoltas en occidente ata a época de [[Pierre de Fermat|Fermat]] e [[Leonhard Euler|Euler]]. Máis tarde os autores sánscritos continuarían o seu estudo, usando a terminoloxía técnica de Brahmagupta. Un procedemento xeral para resolver a ecuación de Pell, o ''Chakravala'' ou método cíclico, foi achado finalmente por [[Jayadeva]] (citado no [[século XI]], a súa obra polo demais perdeuse). A exposición máis temperá que se conserva aparece na obra ''Bijagaṇita'' de [[Bhaskara II]] ([[século XII]])<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Plofker |2008 |p=194 |ref=Plofker}}</ref>
Desgraciadamente, as matemáticas indias non foron coñecidas no mundo occidental ata finais do [[século XVIII]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Plofker |2008 |p=283 |ref=Plofker}}</ref>. As obras de Brahmagupta e Bhaskara non foron traducidas ao inglés ata [[1817]] por [[Henry Thomas Colebrooke|Henry Colebrooke]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Colebrooke |1817 |ref=Colebrooke}}</ref>.
==== Idade de ouro islámica ====
[[Ficheiro:Hevelius Selenographia frontispiece.png|esquerda|miniatura|150px|[[Alhazen|Al-Haytham]], xunto con [[Galileo Galilei|Galileo]], no frontispicio de ''[[Selenographia]]''.]]
Nos primeiros anos do [[século IX]] o califa [[Al-Ma'mun]] ordenou traducir moitas obras matemáticas gregas e polo menos unha sánscrita, o ''Sindhind'' que pode<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Colebrooke |1817 |p=lxv |ref=Colebrooke}}, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Hopkins |1990 |p=302 |ref=Hopkins}}. Véxase tamén o prefacio en {{Cita Harvard sen parénteses |Sachau |1888 |ref=Sachau}} citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Smith |1958 |pp=168 |ref=Smith}}</ref> ou non pode<ref name="Plofnot">{{Cita Harvard sen parénteses |Pingree |1968 |pp=97-125 |ref=Pingree68}}, e {{Cita Harvard sen parénteses |Pingree |1970 |pp=103-123 |ref=Pingree70}}, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Plofker |2008 |p=256 |ref=Plofker}}</ref> ser o [[Brahmasphutasiddhanta|Brāhmasphuţasiddhānta]] de [[Brahmagupta]]. A obra principal de Diofanto, a ''Arithmetica'', foi traducida ao árabe por [[Qusta ibn Luqa]] (820-912); parte do tratado ''al-Fakhri'', de [[al-Karaji|al-Karajī]] (953-ca.1029), está baseado nela. Segundo Roshdi Rashed, [[Alhazen|Ibn al-Haytham]], contemporáneo de al-Karajī, coñecía<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Rashed |1980 |pp=305-321 |ref=Rashed}}</ref> o que máis tarde sería chamado [[teorema de Wilson]].
==== Idade Media ====
Á parte dun tratado sobre cadrados en [[progresión aritmética|progresións aritméticas]] de [[Fibonacci]], quen viviu e estudou en [[África do Norte]] e [[Constantinopla]] nos seus anos de formación (ca.1175-1200), non se pode falar de traballos sobre teoría de números durante a [[Idade Media]] en Europa. O panorama cambiou a finais do [[Renacemento]] grazas a un renovado estudo das obras da antigüidade grega. Un catalizador foi a corrección e tradución textual ao latín da ''Arithemtica'' de Diofanto, feita por [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]] en [[1621]], seguindo un primeiro intento de [[Guilielmus Xylander|Xylander]] en [[1575]].
=== Os inicios da moderna teoría de números ===
==== Fermat ====
[[Ficheiro:Pierre de Fermat.png|dereita|miniatura|150px|[[Pierre de Fermat]], un dos máis famosos teóricos dos números.]]
[[Pierre de Fermat]] (1601–1665) non publicou nunca os seus escritos. A súa obra e, en particular, o seu traballo en teoría de números está contido case enteiramente nas cartas que enviou a outros matemáticos e nas notas privadas escritas na marxe dos libros<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=45-46 |ref=Weil}}</ref>. Non anotaba as demostracións de teoría de números e non tiña modelos nesa área<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=118 |ref=Weil}}. Isto facíao máis en teoría de números ca noutras áreas (observación en {{Cita Harvard sen parénteses |Mahoney |1994 |p=284 |ref=Mahoney}}). As propias probas de Bachet eran "ridiculamente torpes" {{Cita Harvard |Weil |1984 |p=33 |ref=Weil}}.</ref>. Fixo un uso reiterado da [[indución matemática]], introducindo o método do [[descenso infinito]].
Uns dos primeiros temas de interese para Fermat foron os [[Número perfecto|números perfectos]] (que aparecen nos Elementos IX, de Euclides) e os [[números amigos]]<ref>Os números perfectos e especialmente os números amigos espertan pouco interese hoxe en día. Non ocorría o mesmo nos tempos medievais, tanto en Europa coma no mundo árabe, debido en parte á importancia que lles daba o neopitagórico, e xa que logo místico, [[Nicómaco de Gerasa|Nicómaco]] (ca. 100), quen escribiu unha primitiva mais influente "Introdución á aritmética". Véxase {{Cita Harvard sen parénteses|van der Waerden|1961|loc=Cap. IV |ref=Waerden}}.</ref>. Isto levouno a traballar sobre os divisores enteiros, os cales estiveron desde o principio entre os temas da súa correspondencia (a partir de 1636) que lle permitiu establecer contacto coa comunidade matemática da época<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Mahoney|1994|pp=48, 53–54|ref=Mahoney}}. Os temas iniciais da correspondencia de Fermat incluían divisores ("partes alícuotas") e outros moitos fóra da teoría de números; véxase a lista na carta de Fermat a Roberval con data 22/9/1636 {{Cita Harvard|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, pp. 72, 74|ref=Tannery}}, citada en {{Cita Harvard sen parénteses|Mahoney|1994|p=54|ref=Mahoney}}.</ref>. En [[1643]] xa tiña estudado cuidadosamente a edición de [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac|Bachet]] da obra de Diofanto<ref name="Bachet">{{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|pp=1-2|ref=Weil}}</ref>, que agrandou en gran medida o seu interese polos problemas diofantianos e das sumas de cadrados<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|p=53|ref=Weil|ref=Weil}}</ref>, tamén tratados por Diofanto.
Os logros de Fermat en aritmética inclúen:
* O [[pequeno teorema de Fermat]] (1640)<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Tannery |Henry |1891 |loc=Vol. II, p. 209 |ref=Tannery}}, carta XLVI de Fermat a Frenicle, 1640, citada en {{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=56 |ref=Weil}}</ref>, establecendo que se ''a'' non é divisíbel por un primo ''p'', entón <math>\scriptstyle a^{p-1} \equiv 1 \pmod p.</math><ref>Aqui, como é habitual, dados dous enteiros ''a'' e ''b'' e un enteiro non nulo ''m'', escribimos <math>\scriptstyle a \equiv b \pmod m</math> (lido "''a'' é congruente con ''b'' módulo ''m''") para indicar que ''m'' divide ''a'' − ''b'', ou, o que é o mesmo, ''a'' e ''b'' deixan o mesmo resto cando son divididos entre ''m''. Esta notación é realmente moito máis tardía que Fermat; aparece por primeira vez na sección 1 das ''Disquisitiones Arithmeticae''. O pequeno teorema de Fermat é unha consecuencia de que a orde dun elemento dun [[grupo (matemáticas)|grupo]] divide á orde do grupo. A proba moderna estaría dentro dos métodos de Fermat (e, de feito, foi dada por Euler), aínda que o concepto moderno de grupo é bastante posterior a Fermat ou Euler. Axuda saber que o inverso existe módulo ''p'' (isto é, dado ''a'' non divisíbel por un primo ''p'', hai un enteiro ''x'' tal que <math>\scriptstyle x a \equiv 1 \pmod p</math>); este feito (que, na linguaxe moderna, fai dos residuos módulo ''p'' un grupo, e que xa era coñecido por Arybhata; véxase [[#India|arriba]]) era familiar a Fermat grazas ao seu redescubrimento por Bachet {{Cita Harvard|Weil|1984|p=7|ref=Weil}}. Weil continúa dicindo que Fermat tería recoñecido que o argumento de Bachet é esencialmente o algoritmo de Euclides.</ref>.
* Se ''a'' e ''b'' son coprimos, entón <math>\scriptstyle a^2 + b^2</math> non é divisíbel por ningún primo congruente con −1 módulo 4<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Tannery |Henry |1891 |loc=Vol. II, p. 204 |ref=Tannery}}, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=63 |ref=Weil}}. Todas as seguintes citas de ''Varia Opera'' de Fermat están tiradas de {{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |loc=Cap. II |ref=Weil}}. O traballo estándar de Tannery e Henry inclúe unha revisión da obra póstuma de Fermat ''Varia Opera Mathematica'', orixinariamente preparada polo seu fillo {{Cita Harvard |Fermat |1679 |ref=Fermat1}}.</ref>; ''e'' Todo primo congruente con 1 módulo 4 pode escribirse da forma <math>\scriptstyle a^2 + b^2</math><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Tannery|Henry|1891|loc=Vol. II, p. 213 |ref=Tannery}}</ref>. Estes dous resultados tamén son de 1640; en 1659, Fermat informou a [[Huygens]] de que probara o último resultado polo método do descenso infinito<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Tannery |Henry |1891 |loc=Vol. II, p. 423 |ref=Tannery}}</ref>. Fermat e Frenicle tamén fixeron traballos (algús deles erróneos ou non rigorosos)<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=80, 91–92 |ref=Weil}}</ref> sobre as [[forma cadrática|formas cadráticas]].
* Fermat formulou o problema de resolver <math>\scriptstyle x^2 - N y^2 = 1</math> como un reto aos matemáticos ingleses (1657). O problema foi resolto en poucos meses por Wallis e Brouncker<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=92 |ref=Weil}}</ref>. Fermat considerou válida a solución que deron, mais sinalou que usaran un algoritmo sen telo probado (como fixeran Jayadeva and Bhaskara, aínda que Fermat non coñecería este feito). El establecera que unha demostración podía acharse polo método do descenso.
* Fermat desenvolveu métodos para (facendo o que nos nosos termos equivale a) achar puntos en curvas de [[Xénero (matemáticas)|xénero]] 0 e 1. Como en Diofanto, hai moitos procedementos especiais e que equivalen á construción da tanxente, pero non fai uso da construción da secante<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |loc=Cap. II, sec. XV e XVI |ref=Weil}}</ref>.
* Fermat estableceu e probou (por descenso) no apéndice das ''Observacións sobre Diofanto'' (Obs. XLV)<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Tannery |Henry |1891 |loc=Vol. I, pp. 340–341 |ref=Tannery}}</ref>, que <math>\scriptstyle x^{4} + y^{4} = z^{4}</math> non ten solucións enteiras non triviais. Fermat tamén mencionou na súa correspondencia que <math>\scriptstyle x^3 + y^3 = z^3</math> non ten solucións non triviais, e que isto podía probarse por descenso<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=115 |ref=Weil}}</ref>. A primeira demostración coñecida débese a Euler en 1753, por certo usando o método do descenso<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=115-116 |ref=Weil}}</ref>.
Fermat afirmou ter probado o que hoxe coñecemos como o [[último teorema de Fermat]]. O teorema afima que <math>\scriptstyle x^n + y^n = z^n</math> non ten solucións para todo <math>\scriptstyle n\geq 3</math>. A demostración de Fermat estaría na marxe do seu exemplar perdido da aritmética de Diofanto. El nunca o comunicou a outros na súa correspondencia<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=104 |ref=Weil}}</ref> e así non tería que retractarse se aqueles achaban algún erro na súa suposta proba (é un feito que as únicas probas coñecidas fixéronse con métodos completamente alleos aos seus métodos).
==== Euler ====
[[Ficheiro:Leonhard Euler.jpg|miniatura|150px|Leonhard Euler]]
O interese de [[Leonhard Euler]] (1707–1783) na teoría de números foi estimulado por primeira vez en [[1729]] cando o seu amigo, o afeccionado<ref>Na segunda metade do século XVII os postos académicos eran moi escasos, e moitos matemáticos e científicos gañábanse a vida doutra maneira {{Cita Harvard|Weil|1984|pp=159, 161|ref=Weil}}. Había xa algunas características recoñecibéis como ''práctica'' profesional, como buscar correspondentes, visitar a colegas estranxeiros ou crear bibliotecas privadas{{Cita Harvard|Weil|1984|pp=160–161|ref=Weil}}. As cousas comezaron a cambiar a finais do século {{Cita Harvard |Weil|1984|p=161|ref=Weil}} cando se fundaron academias científicas en Inglaterra (a [[Royal Society]], [[1662]]), Francia (a [[Academia francesa das ciencias]], [[1666]]) e, xa no século seguinte, Rusia ([[Academia rusa das ciencias]], [[1724]]). Nesta última ofrecéronlle un posto a Euler en [[1726]], quen aceptou, chegando a San Petersburgo en [[1727]] ({{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|p=163|ref=Weil}} e {{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |p=7 |ref=Varadarajan}}). Neste contexto o termo afeccionado, que se lle aplica usualmente a Goldbach, está ben definido e ten algún sentido: foi descrito como un redactor de cartas que se gañaba a vida como espía {{Cita Harvard |Truesdell |1984 |p=xv |ref=Truesdell}}, citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |p=9 |ref=Varadarajan}}. Porén, Goldbach publicou algún traballo de matemáticas e ás veces sostivo posturas académicas</ref> [[Christian Goldbach]] indicoulle algúns dos resultados de Fermat na materia<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|pp=2, 172|ref=Weil}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Varadarajan|2006|p=9|ref=Varadarajan}}</ref>. Este instante foi chamado o "renacemento" da teoría de números, logo da relativa falla de éxito que tivo Fermat en espertar o interese dos seus contemporáneos pola materia<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|p=2|ref=Weil}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Varadarajan|2006|p=37|ref=Varadarajan}}</ref>. Algúns dos traballos de Euler na teoría de números son<ref>{{Cita Harvard sen parénteses|Varadarajan|2006|p=39|ref=Varadarajan}} e {{Cita Harvard sen parénteses|Weil|1984|pp=176–189|ref=Weil}}</ref>:
* ''Demostracións de resultados establecidos por Fermat'', como o [[pequeno teorema de Fermat]] (xeneralizado por Euler a módulos non primos), o feito de que <math>\scriptstyle p = x^2 + y^2</math> se e só se <math>\scriptstyle p\equiv 1\; mod\; 4</math>, o traballo inicial cara unha demostración de que todo enteiro positivo pode expresarse como a suma de catro cadrados (a primeira demostración completa débese a [[Joseph-Louis Lagrange]] en [[1770]], e foi mellorada moi pronto polo propio Euler<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=178–179 |ref=Weil}}</ref>; ou a ausencia de solucións enteiras non nulas da ecuación <math>\scriptstyle x^4 + y^4 = z^2</math> (que implica o [[último teorema de Fermat]] para ''n=4'', o cal demostrou Euler para ''n=3'' mediante un método semellante).
* ''[[Ecuación de Pell]]'', mal nomeada por Euler nun primeiro momento<ref name="Eulpell">{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=174 |ref=Weil}}. Euler foi xeneroso dándolle creto a outros {{Cita Harvard |Varadarajan |2006 |p=14 |ref=Varadarajan}}, non sempre correctamente.</ref>. Escribiu acerca da relación entre as fraccións continuas e a ecuación de Pell<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=183 |ref=Weil}}</ref>.
* ''Primeiros pasos cara á [[teoría analítica dos números]]''. Nos seus traballos sobre as sumas de catro cadrados, as particións, os números pentagonais e a distribución dos números primos, Euler foi un pioneiro no uso do que se pode considerar como análise (en particular, as series infinitas) en teoría de números. Xa que logo viviu antes do desenvolvemento da [[análise complexa]], a maioría do seu traballo restrínsexe á manipulación formal das [[series de potencias]]. Porén fixo algún traballo temperá notábel (aínda que non completamente rigoroso) sobre o que máis tarde deuse en chamar a [[función zeta de Riemann]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |pp=45–55 |ref=Varadarajan}}; ver tamén o capítulo III.</ref>.
* ''Formas cadráticas''. Continuando o camiño iniciado por Fermat, Euler profundou na cuestión de cales primos poden expresarse da forma <math>\scriptstyle x^2 + N y^2</math>, algúns dos cales prefigurando reciprocidade cadrática<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |pp=44–47 |ref=Varadarajan}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=177–179 |ref=Weil}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Edwards |1983 |pp=285–291 |ref=Edwards}}</ref>.
* ''Ecuacións diofantianas''. Euler traballou nalgunhas ecuacións diofantianas de xénero 0 e 1<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |pp=55–56 |ref=Varadarajan}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=179–181 |ref=Weil}}</ref>. En particular, estudou o traballo de Diofanto, tratando de sistematizalo, mais non chegara o tempo para tal empresa, a xeometría alxébrica estaba aínda na súa infancia<ref name=Weil181>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=181 |ref=Weil}}</ref>. Decatouse de que había unha conexión entre os problemas diofantianos e as [[integral elíptica|integrais elípticas]]<ref name=Weil181/>, cuxo estudo iniciara el mesmo.
==== Lagrange, Legendre e Gauss ====
[[Ficheiro:Disqvisitiones-800.jpg|esquerda|150px|miniatura|Primeira edición de ''Disquisitiones Arithmeticae'', de [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]].]]
[[Joseph-Louis Lagrange]] (1736–1813) foi o primeiro en dar demostracións completas dalgúns traballos e observacións de Fermat e Euler como, por exemplo, o [[Teorema dos catro cadrados de Lagrange|teorema dos catro cadrados]] e a teoría básica da mal chamada "ecuación de Pell" (para a que xa encontraran un algoritmo de resolución Fermat e os seus contemporáneos e, antes que eles Javadeva e Bhaskara II). Tamén estudou as [[Forma cadrática|formas cadráticas]] dun xeito xeral (en oposición a <math>\scriptstyle m X^2 + n Y^2</math>), definindo a súa relación de equivalencia, amosando como poñelas na forma reducida etc.
[[Adrien-Marie Legendre]] (1752–1833) foi o primeiro en establecer a lei da reciprocidade cadrática. Tamén conxecturou sobre o que levou ao [[teorema dos números primos]] e o [[teorema de Dirichlet sobre as progresións aritméticas]]. Deu un tratamento completo á ecuación <math>\scriptstyle a x^2 + b y^2 + c z^2 = 0</math><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=327-328 |ref=Weil}}</ref> e traballou nas formas cadráticas seguindo as liñas que máis tarde foron desenvolvidas completamente por Gauss<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=332–334 |ref=Weil}}</ref>. Sendo xa un ancián foi o primeiro en probar o "último teorema de Fermat" para <math>n=5</math> (completando o traballo de [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]], sendo atribuída a proba tanto a el coma a [[Sophie Germain]])<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |pp=337-338 |ref=Weil}}</ref>.
[[Ficheiro:10 DM Serie4 Vorderseite.jpg|miniatura|200px|Carl Friedrich Gauss]]
Nas súas ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1798), [[Carl Friedrich Gauss]] (1777–1855) probou a lei da reciprocidade cadrática e desenvolveu a teoría das formas cadráticas (en particular, definindo a súa composición). Tamén introduciu algunha notación básica das congruencias e adicou unha sección a asuntos computacionais, incluíndo [[test de primalidade|tests de primalidade]]<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Goldstein |Schappacher |2007 |p=14 |ref=GoldSchap}}</ref>. A derradeira sección das ''Disquisitiones'' establece unha relación entre as raíces das unidade e a teoría de números:
{{Cita|A teoría da división do círculo... que se trata na sección 7 non pertence por si mesma á aritmética, mais os seus principios só poden ser expresados mediante aritmética avanzada|Goldstein & Schappacher (2007)}}
Deste xeito, probabelmente Gauss fixo a primeira incursión cara ao traballo de [[Évariste Galois]] e á teoría alxébrica dos números.
=== Madureza e división en subcampos ===
[[Ficheiro:Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg|miniatura|[[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]].]]
A comezos do século XIX foron producíndose dun xeito gradual os seguintes avances:
* O aumento da autoconsciencia da teoría de números (ou "aritmética superior") como un campo de estudo<ref>Véxase a discusión na sección 5 de {{Cita Harvard sen parénteses |Goldstein |Schappacher |2007 |ref=GoldSchap}}. Signos temperás desta autoconsciencia xa están presentes na correspondencia de Fermat: así, os seus comentarios sobre o que é a teoría de números, e como o traballo de Diofanto [...] non pertence realmente [a este campo] (citado en {{Cita Harvard sen parénteses |Weil |1984 |p=25 |ref=Weil}})</ref>.
* O desenvolvemento de moitas das matemáticas modernas necesarias para a teoría básica dos números: [[análise complexa]], [[teoría de grupos]], [[teoría de Galois]], acompañado dun maior rigor en análise e dunha abstracción crecente en álxebra.
* A subdivisión aproximada da teoría de números nos modernos subcampos desta, en particular, na [[Teoría analítica dos números|analítica]] e na [[Teoría alxébrica dos números|alxébrica]].
Pode considerarse que a teoría alxébrica dos números comeza co estudo da reciprocidade e da [[Raíz da unidade|ciclotomía]], mais chegou realmente a ser o que é co desenvolvemento da [[álxebra abstracta]], a temperá [[teoría de ideais]] e a teoría da [[valoración (álxebra)|valoración]]. Un punto de inicio convencional da teoría analítica dos números é o teorema das progresións aritméticas de Dirichlet (1837)<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Apostol |1976 |p=7 |ref=Apostol}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Davenport |Montgomery |2000 |p=1 |ref=Davenport}}</ref> cuxa demostración introducía as [[función L|funcións L]] e implicaba algunha análise asintótica e un proceso de límite sobre unha variable real<ref>Véxase a proba en {{Cita Harvard sen parénteses |Davenport |Montgomery |2000 |loc=sección 1 |ref=Davenport}}</ref>. O primeiro en usar realmente as ideas análiticas na teoría de números foi Euler na década dos 1730<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Iwaniec |Kowalsky |2004 |p=1 |ref=Iwaniec}}</ref><ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Varadarajan |2006 |loc=seccións 2.5, 3.1 e 6.1 |ref=Varadarajan}}</ref> quen usou series de potencias formais e argumentos non rigorosos (ou implícitos) dos límites. O uso da análise ''complexa'' na teoría de números veu máis tarde: o traballo de [[Bernhard Riemann]] (1859) sobre a [[función zeta de Riemann|función zeta]] é o punto canónico de partida<ref>{{Cita Harvard sen parénteses |Granville |2008 |pp=322–348 |ref=Granville}}</ref>. O [[teorema dos catro cadrados de Jacobi]], que o precede, pertence a un fío inicialmente diferente que xa tivo un papel principal na teoría analítica dos números ([[forma modular|formas modulares]])<ref>Véxase o comentario sobre a importancia da modularidade en {{Cita Harvard sen parénteses |Iwaniec |Kowalski |2004 |p=1 |ref=Iwaniec}}</ref>.
Moitas das cuestións máis interesantes de cada área permanecen abertas e estase a traballar activamente nelas.
== Subdivisións ==
A teoría de números pódese subdividir en varios campos, de acordo cos métodos que son usados e das cuestións que son investigadas, a saber:
* [[Teoría elemental dos números]]: utiliza soamente os métodos elementais da aritmética para a verificación e comprobación das propiedades esenciais do [[conxunto]] dos [[número enteiro|números enteiros]], e en particular as propiedades dos [[número primo|números primos]];
* [[Teoría Analítica dos Números]]: utiliza a [[análise real]] e a [[análise complexa]], especialmente para estudar as propiedades dos números primos;
* [[Teoría Alxébrica dos Números]]: utiliza álxebra abstracta avanzada ([[álxebra moderna]]) e estuda os números alxébricos;
* [[Teoría Xeométrica dos Números]]: utiliza métodos xeométricos, alxébricos e analíticos;
== Sobre a Teoría Elemental dos Números ==
Normalmente, o primeiro contacto coa Teoría de números é a través da '''Teoría Elementar dos Números'''. A través desta disciplina pódense introducir propiedades bastante interesantes e notábeis dos [[número enteiro|números enteiros]], mais, que ao seren propostas como cuestións a seren resolvidas, ou [[teorema]]s a seren probados, son xeralmente de difícil solución ou comprobación. Estas cuestións están ligadas basicamente a tres tipos de investigacións, a saber:
# Estudos específicos sobre as propiedades dos [[número primo|números primos]];
# Estudos envolvendo a investigación de [[algoritmo]]s eficientes para a Aritmética Básica;
# Estudos sobre a resolución de [[Ecuación diofantiana|Ecuacións Diofantianas]];
Estas cuestións directamente ligadas ao estudo do [[Conxunto dos números enteiros]] e
o seu subconxunto: o [[Conxunto dos números naturais]].
A título de ilustración, algúns dos moitos problemas que se poden focalizar nestas tres áreas da Teoría Elemental dos Números son comentados a continuación:
== Propiedades dos números primos ==
=== Teorema de Euclides ===
:"''Existe unha cantidade infinita de números primos''"
=== Conxectura de Goldbach ===
:"''Pódense expresar os números pares, maiores que 2, como a suma de dous números primos?''" Esta é a denominada conxectura de Goldbach, formulada en [[1746]] e ata hoxe non probada, a pesar de ser verificada para números da orde de ata 4*10^14.
: Cantos números primos terminan co díxito 7? Serían infinitos?
Son 664.579 os números primos menores que 10 millóns, sendo que os números primos que terminan en 1, 3, 7 e 9 respectivamente son 166.104, 166.230, 166.211 e 166.032, o que corresponde a 24,99%, 25,01%, 25,01% e 24,98% deste total de números. Que suxere isto?
: Hai infinitos pares de números denominados primos xemelgos?
Son números primos que diferen un do outro en apenas dúas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)
== Algoritmos eficientes para a aritmética básica ==
Moitas das modernas aplicacións que se están levando a efecto no campo da [[criptografía]] (codificación destinada a xerar, almacenar ou ata mesmo transmitir — por exemplo, por telefonía ou máis especificamente pola [[Internet]]) — informacións secretas ou confidenciais de forma segura, dependen dalgunhas das propiedades dos números enteiros e dos números primos. Porén as aplicacións aritméticas envolvendo as propiedades dos números enteiros están directamente relacionadas á capacidade de se resolver dous problemas fundamentais:
# o problema do test para verificar se o número é primo;
# o problema da decomposición en factores primos;
Aparentemente son problemas de simple solución, ata que pasen a envolver numerais con decenas e ata centenas de díxitos.
== Ecuacións diofantianas ==
Cando se procuran solucións enteiras (e ás veces racionais) para ecuacións alxébricas dos seguintes tipos:
* <math>x^2 + y^2 = z^2</math>, por exemplo, que posúe infinitas solucións representadas polas ternas ordenadas (x,y,z) coñecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior dun triángulo rectángulo – a hipotenusa, e x e y os seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), soamente para citar algúns exemplos. Un conxunto de fórmulas poden facilitar a obtención das [[Ternas Pitagóricas]]: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q son combinacións de números enteiros positivos distintos, con p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocinio continúa valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Hai unha xustificativa alxébrica para tal feito? Este proceso funcionará sempre?
* <math>x^n + y^n = z^n</math>, que non posúe solucións non nulas para n maior ou igual a 3 (ou sexa para n > 2) que é xustamente denominado o [[Último Teorema de Fermat]] - sobre o cal o [[matemático]] [[Francia|francés]] [[Pierre de Fermat]] ([[1601]]-[[1665]]) afirmou nunha pequena nota escrita na marxe dunha páxina do un libro, exactamente ao lado daquela ecuación, posuír unha proba bastante simple para a mesma, mais que non se podería escribir alí, por absoluta falta de espazo. O matemático inglés [[Andrew Wiles]] finalmente en [[1993]], despois de ter usado unha vasta colectánea de novas técnicas e de moitas técnicas antigas da Teoría de números ''ben como tendo dispendido moito tempo de estudo e moitas e moitas follas de papel'' para resolver este misterio, anunciou a proba deste Teorema, que permanecera, por máis de 300 anos, como un desafío para os máis habilidosos matemáticos.
* <math>y^2 = x^3 + 17</math>, que posúe exactamente 8 solucións (x,y) onde x e y son números enteiros sendo os valores de x os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52. Os valores de y poden atoparse facilmente a partir destes. Aquí o difícil será mostrar que as únicas solucións posíbeis son estas.
* Ecuacións alxébricas que posibiliten calcular todos os números enteiros positivos que poidan escribirse como suma de catro [[cadrado perfecto|cadrados perfectos]], como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", poden ser repetidos os cadrados perfectos, como no exemplo dado; aínda se pode, adoptar o 0 como un cadrado perfecto, como en: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 no canto de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.
Sábese que moitos números enteiros positivos non se poden escribir desta forma, e isto torna a solución deste problema bastante máis complexa. Este feito podería levar á seguinte pregunta: cantos son os números enteiros positivos menores de 10.000, que non se poden ser escribir como a suma de catro cadrados perfectos? Este problema pode ser aínda presentado como exixindo a utilización de apenas dous cadrados perfectos ou utilizando tres cadrados perfectos. Agora a solución aínda se tornaría máis difícil.
== Notas ==
{{Listaref|30em}}
== Véxase tamén ==
{{commonscat}}
=== Bibliografía ===
* {{cita libro |apelidos=Apostol |nome=Tom M |ligazónautor=Tom M. Apostol |ano=1976 |título=Introduction to analytic number theory |serie=Undergraduate texts in mathematics |editor=Springer |isbn=978-0-387-90163-3 |url=http://books.google.co.uk/books?id=Il64dZELHEIC |lingua=inglés |ref=Apostol}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Becker |nome=Oskar |ano=1936 |ligazónautor=Oskar Becker |lingua=alemán |título=Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente |revista=Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik |serie=Abteilung B:Studien |volume=3 |páxinas=533–53 |localización=Berlín |editor=J. Springer Verlag |ref=Becker}}
* {{cita libro |apelidos1=Boyer |nome1=Carl Benjamin |apelidos2=Merzbach |nome2=Uta C. |ano=1991 |ligazónautor1=Carl Benjamin Boyer |título=A History of Mathematics |edición=2ª |ano-orixinal=1968 |localización=Nova York |editor=Wiley |isbn=978-0-471-54397-8 |url=https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics|ref=Boyer |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos1=Clark |nome1=Walter Eugene (trad.) <!--|apelidos2=Aryabhata
|ligazónautor2=Aryabhata--> |ano=1930 |título=The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on mathematics and astronomy |editor=University of Chicago Press |url=http://www.archive.org/details/The_Aryabhatiya_of_Aryabhata_Clark_1930 |dataacceso=29 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés |ref=Clark}}
* {{cita libro |apelidos=Colebrooke |nome=Henry Thomas |ligazónautor=Henry Thomas Colebrooke |ano=1817 |título=Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. |localización=Londres |editor=J. Murray |url=http://www.archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft |dataacceso=29 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés |ref=Colebrooke}}
* {{Cita libro |título=Historia de las matemáticas (volúmenes 1 y 2) |nome=Jean-Paul |apelidos=Collette |ligazónautor=Jean-Paul Collette |coautores= |ano=1985 |editor=Siglo XXI Editores S.A. |localización=Madrid |isbn=84-323-0523-5 |lingua=castelán |ref=Collette}}
* {{cita libro |apelidos1=Davenport |nome1=Harold |ano=2000 |apelidos2=Montgomery |nome2=Hugh L. |título=Multiplicative number theory |edición=revisada 3ª |serie=Graduate texts in mathematics |volume=74 |editor=Springer |isbn=978-0-387-95097-6 |lingua=inglés |ref=Davenport}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Edwards |nome=Harold M. |data=Novembro 1983 |título=Euler and quadratic reciprocity |revista=Mathematics Magazine |volume=56 |número=5 |páxinas=285–291 |editor=Mathematical Association of America |isbn= |ref=Edwards |jstor=2690368 |doi=10.2307/2690368 |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Fermat |nome=Pierre de |ano=1679 |ligazónautor=Pierre de Fermat |lingua=francés e latín |título=Varia Opera Mathematica |localización=Toulouse |editor=Joannis Pech |url=http://books.google.co.uk/books?id=fvZaAAAAQAAJ |dataacceso=8 de febreiro de 2015 |ref=Fermat1}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Friberg |nome=Jöran |data=Agosto 1981 |título=Methods and traditions of Babylonian mathematics: Plimpton 322, Pythagorean triples and the Babylonian triangle parameter equations |revista=Historia Mathematica |volume=8 |número=3 |editor=Elsevier |páxinas=277–318 |ref=Friberg |doi=10.1016/0315-0860(81)90069-0 |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=von Fritz |nome=Kurt |apelidos-editor=Christianidis |nome-editor=J. |ano=2004 |capítulo=The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum |título=Classics in the History of Greek Mathematics |localización=Berlín |editorial=Kluwer (Springer) |isbn=978-1-4020-0081-2 |lingua=inglés |ref=Fritz}}
* {{cita libro |apelidos1=Goldstein |nome1=Catherine |apelidos2=Schappacher |nome2=Norbert |ano=2007 |apelidos-editor1=Goldstein |nome-editor1=C. |apelidos-editor2=Schappacher |nome-editor2=N. |apelidos-editor3=Schwermer |nome-editor3=Joachim |capítulo=A book in search of a discipline |título=The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae" |localización=Berlin & Heidelberg |editorial=Springer |isbn=978-3-540-20441-1 |url=http://books.google.co.uk/books?id=IUFTcOsMTysC |dataacceso=14 de abril de 2015 |páxinas=3–66 |ref=GoldSchap |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Granville |nome=Andrew |ano=2008 |apelidos-editor1=Gowers |nome-editor1=Timothy |apelidos-editor2=Barrow-Green |nome-editor2=June |apelidos-editor3=Leader |nome-editor3=Imre |capítulo=Analytic number theory |título=The Princeton Companion to Mathematics |editorial=Princeton University Press |isbn=978-0-691-11880-2 |url=http://books.google.co.uk/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA332 |lingua=inglés |ref=Granville}}
* {{cita libro |apelidos=Guthrie |nome=Kenneth Sylvan |ano=1987 |ligazónautor=Kenneth Sylvan Guthrie |título=The Pythagorean Sourcebook and Library |localización=Grand Rapids, Michigan |editor=Phanes Press |isbn=978-0-933999-51-0 |ref=Guthrie |lingua=inglés}}
* {{Cita libro |apelidos1=Hardy |nome1=Godfrey Harold |ligazónautor1=G. H. Hardy |apelidos2=Wright |nome2=E. M. |título=An Introduction to the Theory of Numbers |ano-orixinal=1938 |lingua=inglés |editor=Oxford University Press |edición=6ª |isbn=978-0-19-921986-5 |ano=2008 |ref=Hardy}}
* {{cita libro |apelidos=Heath |nome=Thomas L. |ano=1921 |ligazónautor=Thomas Little Heath |título=A History of Greek Mathematics |volume=1-From Thales to Euclid |localización=Oxford |editor=Clarendon Press |url=http://www.archive.org/details/historyofgreekma01heat |lingua=inglés |dataacceso=6 de xaneiro de 2015 |ref=Heath}}
* {{cita libro |apelidos=Hopkins |nome=J. F. P |apelidos-editor1=Young |nome-editor1=M. J. L. |apelidos-editor2=Latham |nome-editor2=J. D. |apelidos-editor3=Serjeant |nome-editor3=R. B. |ano=1990 |capítulo=Geographical and navigational literature |título=Religion, learning and science in the `Abbasid period |serie=The Cambridge history of Arabic literature |editorial=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-32763-3 |ref=Hopkins |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Iwaniec |nome=Henryk |apelidos2=Kowalski |nome2=Emmanuel |ano=2004 |título=Analytic number theory |serie=American Mathematical Society Colloquium Publications |volume=53 |localización=Providence, Rhode Island |editor=American Mathematical Society |isbn=0-8218-3633-1 |lingua=inglés |ref=Iwaniec}}
* {{cita libro |apelidos1=Lam |nome1=Lay Yong |apelidos2=Ang |nome2=Tian Se |ano=2004 |título=Fleeting Footsteps: Tracing the conception of arithmetic and algebra in ancient China |edición=rev. |localización=Singapur |editor=World Scientific |isbn=978-981-238-696-0 |url=http://books.google.co.uk/books?id=fGYmpWE5UZgC |dataacceso=13 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés |ref=Lam}}
* {{Cita libro |apelidos=Long |nome=Calvin T. |ligazónautor=Calvin T. Long |título=Elementary Introduction to Number Theory |edición=2ª |ano=1972 |editor=D. C. Heath and Company |localización=Lexington |lccn = 77171950 |lingua=inglés |ref=Long}}
* {{cita libro |apelidos=Mahoney |nome=M. S. |ano=1994 |título=The mathematical career of Pierre de Fermat, 1601–1665 |edición=Reprint, 2nd |editor=Princeton University Press |isbn=978-0-691-03666-3 |url=http://books.google.co.uk/books?id=My19IcewAnoC |dataacceso=6 de febreiro de 2015 |ref=Mahoney |lingua=inglés}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Mumford |nome=David |título=Mathematics in India: reviewed by David Mumford |revista=Notices of the American Mathematical Society |data=Marzo 2010 |volume=57 |número=3 |páxina=387 |issn=1088-9477 |url=http://www.ams.org/notices/201003/rtx100300385p.pdf |dataacceso=29 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés |ref=Mumford}}
* {{cita libro |apelidos=Neugebauer |nome=Otto E. |ano=1969 |ligazónautor=Otto E. Neugebauer |título=The exact sciences in antiquity |edición=1957 (corrixida) |localización=Nova York |editor=Dover Publications |isbn=978-0-486-22332-2 |url=http://books.google.co.uk/books?id=JVhTtVA2zr8C |dataacceso=11 de xaneiro de 2015 |ref=Neugebauer |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos1=Neugebauer |nome1=Otto E. |apelidos2=Sachs |nome2=Abraham Joseph |apelidos3=Götze |nome3= Albrecht |ano=1945 |ligazónautor1=Otto E. Neugebauer |ligazónautor2=Abraham Sachs |título=Mathematical cuneiform texts |serie=American Oriental Series |volume=29 |editor=American Oriental Society etc. |lingua=inglés |ref=Neugebauer & Sachs}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Pingree |nome=David |ano=1968 |título=The fragments of the works of Ya'qub ibn Tariq |revista=Journal of Near Eastern Studies |editor=University of Chicago Press |volume=26 |lingua=inglés |ref=Pingree68}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Pingree |nome=David |ano=1970 |título=The fragments of the works of al-Fazari |revista=Journal of Near Eastern Studies |editor=University of Chicago Press |volume=28 |ref=Pingree70 |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Plofker |nome=Kim |ano=2008 |título=Mathematics in India |editor=Princeton University Press |isbn=978-0-691-12067-6 |lingua=inglés |ref=Plofker}}
* {{cita libro |apelidos1=Proclo |ligazónautor1=Proclo |apelidos2=Morrow |nome2=Glenn Raymond (trad.) |ano=1992 |título=A commentary on Book 1 of Euclid's Elements |editor=Princeton University Press |isbn=978-0-691-02090-7 |url=http://books.google.co.uk/books?id=JZEHj2fEmqAC&pg=PA52 |dataacceso=13 de xaneiro de 2015 |ref=Morrow |lingua=inglés}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Rashed |nome=Roshdi |ano=1980 |ligazónautor=Roshdi Rashed |título=Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson |revista=Archive for History of Exact Sciences |volume=22 |número=4 |páxinas=305–321 |doi=10.1007/BF00717654 |ref=Rashed |lingua=francés}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Robson |nome=Eleanor |ano=2001 |título=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322 |volume=28 |revista=Historia Mathematica |número=28 |páxinas=167–206 |editor=Elsevier |doi=10.1006/hmat.2001.2317 |url=http://www.hps.cam.ac.uk/people/robson/neither-sherlock.pdf |dataacceso=11 de xaneiro de 2015 |ref=Robson |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Sachau |nome=Eduard |ligazónautor=Eduard Sachau |ano=1888 |título=Alberuni's India: An account of the religion, philosophy, literature, geography, chronology, astronomy and astrology of India, Vol. 1 |localización=Londres |editor=Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. |url=http://onlinebooks.library.upenn.edu/webbin/book/lookupname?key=Sachau%2C%20Eduard%2C%201845-1930 |ref=Sachau |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Serre |nome=Jean-Pierre |ano=1996 |ano-orixinal=1973 |ligazónautor=Jean-Pierre Serre |título=A course in arithmetic |serie=Graduate texts in mathematics |volume=7 |editor=Springer |isbn=978-0-387-90040-7 |lingua=inglés |ref=Serre}}
* {{cita libro |apelidos=Smith |nome=D. E. |ano=1958 |título=History of Mathematics, Vol I |localización=Nova York |editor=Dover Publications |ref=Smith |lingua=inglés}}
* {{cita libro |ref=Tannery |apelidos1=Tannery |nome1=Paul |ligazónautor1=Paul Tannery |apelidos2=Henry |nome2=Charles (eds.) |ano=1891 |apelidos3=Fermat |nome3=Pierre de |ligazónautor3=Pierre de Fermat |lingua=Francés e Latín |título=Oeuvres de Fermat |serie=(4 Vols.) |localización=París |editor=Imprimerie Gauthier-Villars et Fils|url=https://archive.org/details/oeuvresdefermat01ferm|volume=1|ano=1912|dataacceso=6 de febreiro de 2015}}
* {{cita libro |apelidos=Truesdell |nome=C. A. |ano=1984 | |apelidos-editor1=Hewlett |nome-editor1=John (trad.) |capítulo=Leonard Euler, supreme geometer |título=Leonard Euler, Elements of Algebra |edición=reimpresión de 1840 5ª |localización=Nova York |editorial=Springer-Verlag |isbn=978-0-387-96014-2 |url=http://books.google.co.uk/books?id=mkOhy6v7kIsC |dataacceso=14 de abril de 2015 |ref=Truesdell |lingua=inglés}}
* {{cita libro |apelidos=Varadarajan |nome=V. S. |ano=2006 |título=Euler through time: a new look at old themes |editor=American Mathematical Society |isbn=978-0-8218-3580-7 |url=http://books.google.co.uk/books?id=CYyKTREGYd0C |ref=Varadarajan |dataacceso=14 de abril de 2015 |lingua=inglés}}
* {{cita publicación periódica |apelidos=Vardi |nome=Ilan |título=Archimedes' cattle problem |data=Abril 1998 |revista=American Mathematical Monthly |volume=105 |número=4 |páxinas=305–319 |isbn= |url=https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Cattle/cattle_vardi.pdf |ref=Vardi |doi=10.2307/2589706 |dataacceso=28 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés}}
* {{cita libro |ref=Waerden |apelidos1=van der Waerden |nome1=Bartel L. |apelidos2=Dresden |nome2=Arnold (trad.) |ano=1961 |ligazónautor=Bartel Leendert van der Waerden |título=Science Awakening |volume=Vol. 1 ou Vol. 2 |localización=Nova York |editor=Oxford University Press |lingua=inglés}}<!-- Alternative Google books limited preview url=http://books.google.co.uk/books?id=S_T6Pt2qZ5YC& Translated by Peter Huber Publisher Springer, 1974 ISBN 90-01-93103-0, ISBN 978-90-01-93103-2 -->
* {{cita libro |apelidos=Weil |nome=André |ano=1984 |ligazónautor=André Weil |título=Number theory: an approach through history – from Hammurapi to Legendre |localización=Boston |editor=Birkhäuser |isbn=978-0-8176-3141-3 |url=http://books.google.co.uk/books?id=XSV0hDFj3loC
|dataacceso=28 de xaneiro de 2015 |ref=Weil |lingua=inglés}}
=== Outros artigos ===
* [[Aritmética]]
=== Ligazóns externas ===
* {{Cita web |url=http://www.numbertheory.org |título=Number Theory Web |editor=Keith Matthews |lugar=Brisbane, Australia |dataacceso=11 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés}}
* {{Cita web |url=http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/11-XX.html |título=11: Number theory |obra=The Mathematical Atlas |editor=Northern Illinois University |localización=DeKalb, Illinois |dataacceso=8 de febreiro de 2015 |lingua=inglés}}
* O presente artigo incorpora material traducido de [[Citizendium]] con licenza [[Wikipedia:Texto da Licenza Creative Commons Recoñecemento-CompartirIgual 3.0|CC-by-sa 3.0]]: {{Cita web |url=http://en.citizendium.org/wiki/Number_theory |título=Number theory |editor=Citizendium |dataacceso=8 de febreiro de 2015 |lingua=inglés}}
* {{cita web |apelidos=Huffman |nome=Carl A. |apelidos-editor=Zalta |nome-editor=Edward N. |data=8/8/2011 |título=Pythagoras |obra=Stanford Encyclopaedia of Philosophy |edición=Outono 2011 |url=http://plato.stanford.edu/archives/fall2011/entries/pythagoras/ |dataacceso=13 de xaneiro de 2015 |ref=Huffman |lingua=inglés}}
* {{cita web |apelidos=O'Grady |nome=Patricia |data=setembro 2004 |título=Thales of Miletus |url=http://www.iep.utm.edu/thales/ |editor=The Internet Encyclopaedia of Philosophy |ref=Grady |dataacceso=13 de xaneiro de 2015 |lingua=inglés}}
{{Matemáticas}}
{{Control de autoridades}}
[[Categoría:Matemáticas]]
[[Categoría:Artigos que toda Wikipedia debería ter (Ciencia)]]
| |||