Tensor: Diferenzas entre revisións

Os tensores son de importancia en [[física]] (onde aparece en diversos campos como poden ser o [[electromagnetismo]], o estudo do [[sólido ríxido]] ou a [[relatividade xeral|teoría da relatividade xeral]]) e [[enxeñaría]] (onde aparece o [[tensor de tensións]] ou o tensor de elasticidades).

De xeito máis específico, un tensor de segunda orde que, por exemplo, cuantifique as tensións undun obxecto sólido tridimensional ten unhas compoñentes que se poden expresar como unha [[matriz]] 3x3. As tres caras cartesiás dun elemento de volume cúbico infinitesimal están sometidas a unha certa forza. Como as compoñentes do vector forza tamén son 3, entón 3x3=9 son as compoñentes precisas para describir as tensións que sofre este elemento de volume.

A palabra ''tensor'' introducinaintroduciuna en [[1846]] [[William Rowan Hamilton]]<ref>[[William Rowan Hamilton]], ''On some Extensions of Quaternions''[http://www.emis.de/classics/Hamilton/ExtQuat.pdf]</ref> para describir a [[norma (matemáticas)|operación norma]] nunha clase determinada de sistema alxebraico ([[álxebra de Clifford]]). A palabra empregouse no seu sentidosenso actual por primeira vez no [[1899]] por [[Woldemar Voigt]].

A notación foi desenvolvida polo [[1890]] por [[Gregorio Ricci-Curbastro]] no seu traballo ''cálculo diferencial absoluto'', e fíxose accesible a moitos matemáticos grazas á publicación do clásico texto italiano do mesmo título escrito por [[Tullio Levi-Civita]] no [[1900]]. No século XX a materia comezouse a coñecer como ''análise tensorial'' e tomou grande importancia coa introducción da teoría da [[relatividade xeral]] de [[Albert Einstein|Einstein]] polo [[1915]]. Na relatividade xeral emprégase a linguaxe de tensores para o desenvolvemento da teoría, e dise que o mesmo Einstein aprendeu a teoría, con grande dificultade, do mesmode Levi-Civita.

* O xeito que se emprega xeralmente en física é o de definir os tensores en termos de obxectos cuxas compoñentessecompoñentes se transforman dacordo cunhas regras determinadas, introducindo así as ideas de covarianza e contravarianza.

Os físicos e enxeñeiros foron os primeiros en decatarse de que vectores e tensores teñen un gran significado físico por si mesmos, alén do sistema coordeado (xeralmente arbitrariamente escollido) nano que se expresen esas cantidades. Do mesmo xeito, os matemáticos decatáronse que certas relacións tensoriais son máis doadas de obter nun sistema de coordeadas concreto.

Coma exemplo sinxelo pódese pensar nun barco na auga e tentar describir a resposta do mesmo áa unha forza externa que se lle aplicaaplique. A forza é un vector e o barco respostará cunha aceleración, que tamén é un vector. Esa aceleración non ten por que ir na mesma dirección que a forza, pero a relación entre a forza aplicada e a aceleración sufrida polo barco é [[operador linear|linear]] en mecánica clásica. Dita relación é un tensor de tipo (1,1) (o que quere dicir, máis ou menos, que transforma un vector noutro). O tensor deste exemplo pódese representar como unha [[matriz]] que, ó multiplicar un vector, dá como resultado outro. Do mesmo xeito que os números que representan un vector (as [[compoñente]]s do mesmo) cambian se trocamos o sistema de coordeadas, os números da matriz que representan o tensor tamén cambiarán ó trocarmos o sistema.

Póndense clasificar as magnitudes xeométricas e físicas considerando os [[grao de liberdade (física e química)|graos de liberdade]] inherentes á sua descrición. As magnitudes escalares son aquelas que se poden representar cun só número, como a [[presión]], a [[masa]] ou a [[temperatura]]. Tamén hai magnitudes vectoriais, como a [[forza]], que requiren unha ringleira de números para describilas. Por último, magnitudes tales como as formas cuadráticascadráticas requiren unha matriz para a súa representación.

Outro exemplo dun tensor é o [[tensor de curvatura de Riemann]] que aparece na teoría da [[relatividade xeral]], eque é un tensor de rango 4, tendo cada índice 4 dimensións (tres espaciais e unha temporal). Esta magnitude ten 256 compoñentes, anque por razóns das simetrías físicas só 20 delas son independentes das demáis, simplificando así o traballo con esta magnitude.

Hai distintos enfoques '''''equivalentes''''' para estudar ostensoresos tensores, anque a equivalencia entre eles non é evidente se non se traballa máis a fondo con eles.

:O enfoque clásico ve os tensores como matrices multidimensionais que xeralizan tanto os escalares comocoma os vectores ou as matrices. As compoñentes do tensor serían así os valores de cada cela desa matriz xeralizada. Esta idea pódese xeralizar a campos tensoriais cando os elementos do tensor son funcións ou diferenciais no canto de números.

:O enfoque moderno (libre de compoñentes) ve os tensores comocoms obxectos abstractos representando un tipo definido de concepto multilinear. ASAs súas propiedades pódense derivar da súa definición como funcións lineaislineares ou incluso de xeito máis xeral e as reglarreglas para manipular tensores xorden como unha extensión da [[álxebra linear]] á [[álxebra multilinear]]. Este tratamento tentou reemplazar o anterior para un estudioestudo máis avanzado, o que carrexa maiores complicacións cando se tentan dar interpretacións xeométricas.

Un tensor contravariante de segunda orde é aquel que se transforma segundo:

Un tensor covariante de segunda orde é aquel que se transforma segundo:

Por tratarse duunhdunha transformación ortogonal a lonxitude non se ve afectada. É dicir, a cantidade <math>A_i x_i \equiv A^{\prime}_j x^{\prime}_j</math> é un invariante.

Debe existir unaunha ciertacerta relación entre laa base antiguaantiga ye la base nuevanova, que vendrávirá dada por unaunha matriz de cambio 'O' que nos permitepermitirá recuperar lasas coordenadascoordeadas de lada base antiguaanterior condende respectoas acoordenadas lasda de la nuevanova base. Esto se elige así por convenio.

Como se trata de unadunha transformación ortogonal (<math>O^{-1} \equiv O^T</math>), elo cambio inverso es:é

EstoIsto significaquere dicir que elo vector 'A' envirá ladado nuevana basenova vendrá dadobase por:

OOu loo que esé loo mismomesmo, <math>A = O^{T} A^\prime</math> oou bienben <math>A^\prime = O A</math>.

Unha vez quedou claro como imos transformar o noso vector pasemos aos tensores. Supoñamos que temos un n-tensor (tensor de orde n) <math>T_{i_1 \ldots i_n}</math>, este obxecto transfórmase coma o produto de n vectores. Isto significa que existirá unha relación do tipo:

Empregando esta notación, as dúas ecuacións do principio quedan como:

Un exemplo sinxelo de n-tenortensor é o produto de n vectores distintos, <math>T_{i_1,...,i_n} = A_{i_1} B_{i_2} ... X_{i_n}</math> xa que, baseándonos no escrito anteriormente para o vector A, isto cumple o descrito para o n-tensor.

O primeiro dos dous 2-tensores (A) transfórmase coma o segundo ©(C) pero empregando a [[matriz trasposta]] no canto da matriz orixinal 'O' (se non estiveramos en coordeaas ortogonais, a matriz sería a inversa e non a trasposta). Logo atopamos un problema de notación ao estar a chamar igual a dúas cousas distintas. Para solventar este problema ós tensores de tipo

Aos tensoresestensores que se transforman coa matriz orixinal chamámolos '''covariantes''' e os índices escríbense embaixo.